Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

x{t) = g{t) - y{t) (5.3)

- ошибка системы.

Для получения дифференциального уравнения всей системы уравнения (5.1) - (5.3) решаются относительно ее Bbixoimoft величитп)!, в качестве которой можно рассматривать как управляемую величину y{L), так и ошибку x{t).

В первом случае получается дифференциальное уравнение

D{p) y{t) = В{р) g{t) + N{p)Kt), (5.4)

Dip) = Bip) + dp); B(p) = B,(p) B(p);

Cip) = Co(p) C,(/;); N(p) = C/p) N,{p).

Полино.м D{p) n-ro порядка характеризует свободное движение системы автоматического управления. Он называется характеристическим полиномом замкнутой сист.емы и может быть представлен в виде

D(p)-aop + a,p + +а ,р + а , (5.5)

где .....я в линеаризованной систе.ме представляют собой постоянные коэффициенты.

Как видно из (5.4), полино.м D(j)) отличается от характе1)истического полино.ма объекта Cq(p). Это означает, что и свободное движение систе.мы .может cyntecTBeniio отличаться от свободного движения объекта. В частности, если управляемый объект неустойчив, то при правильно выбранных алгоритме управления и параметрах управляющего устройства система в целом будет устойчивой. Наоборот, при неправильном выборе систе.ма авто.матического управления устойчивым объектом может стать неустойчивой.

Полином В{р) в уравнении (5.4) определяет в;1ияние задающего воздействияg(r) иа характер изменения управляемой величины у(1), причем последняя должна как можно более точно воспроизводить задающее воздействие, т. е. ошибка систем ы (5.3) должна быть .мипи.малыюй.

Полином N(j)) определяет влияние возмущаюп1его воздействия /(С) иа ха1)актер изменения управляемой величины y(L). В уравнении (5.4) учтено только одно воз--мущеине f(t). В принципе таких возмущений может быть несколько. Однако вследствие линейности уравнения действует принцип суперпозиции, согласно которому реакция па сум.му воздействий равна сумме реакций. Поэто.му достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения, а при наличии нескольких возмущений необходи.мо лишь просуммировать результат.

Во втором случае, когда в качестве выходной величины рассматривается ошибка х(г), дифференциальное уравнение системы .может быть получено нодста1ц)вкой в (5.4) выражения для ошибки (5.3):

Dip) x(t) = С{р) g(t) - N{p) fit). (5.6)

Из (5.6) вытекает, что ошибка системы автоматического управления может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяет-



88 Непрерывные линейные системы автоматического управления

ся наличием aa/iaioniero иоздейстиия g{t), а вторая - наличием возмущающего воздействия (в общем случае - возмущаюнщх воздействий). Первая составляющая не равна нулю только в ирограм.мных и следяhuix системах. В стабилизируюн1.их системах g{t) = const. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы g{t) = 0.

Согласно (5.4) N{p) = С(р) {р). Это означает, что выбором структуры и иара-.метров управляющего устройства можно у.меньшить вторую составляющую ошибки и тем самым ослабить влияние воз.мущающего воздействия на об1>ект. Если для какого-либо возмущающего воздействия полином N{p) = О, то говорят, что система автоматического управления является инвариагггпой относительно этого воздействия. Равным образом в нрогра.м.мгнлх и следянп1х системах равенство С{р) = О означает, что система инвариантна относительно задающего во.здействия.

Уравнения (5.1), (5.4) и (5.6) могут быть также представлены в виде совокупности уравнений первого порядка, называемых уравнениями состояния. Они рассматриваются в § 5.5.

§ 5.2. Передаточные функции систем автоматического управления

Записанные выше дифференциальные уравнения системы автоматического управления (5.4) и (5.6) могут быть получены также на основании понятия передаточной 4)упкпии, которое было введено в главе 3. Рассмотри.м рис. 5.1, где изображена замкнутая система авто.матнческого управления.

Предположим вначале, что чувствитечьный элемент (ЧЭ) отсоединен от управляемого объекта (УО), и рассмотри.м так называемую разомкнутую систему автоматического управления.

Управляющее воздействие, которое прикладывается к унравляемо.му объекту, определяется выражением

u{t)=W{p)x{t), (5.7)

гдех - рассогласование па выходе чувствительного элемента, WyQj) - передаточная функция управляющего устройства, которая определяется из дифференциального уравнения управляющего устройства (5.2):

щр) =

Ujp) Мр) х(р) с,(рУ

(5.8)


Управляемая величина может быть найдена из выражения

y{0 = Wo(p)u(t) + Wf(p)m, (5.9)

где Wo(j)) - передаточная функция об1>ек-та но управляющему воздействию, Wj(j)) - передаточная функция объекта по воз.му-щающему воздействию f(t).



Первая из них определяется из дифференциального уравнения объекта (5.1) при fit) = 0:

а вторая - из того же уравнения при м(0 = 0:

Fip) C,ip) (--ll)

Подставляя (5.7) в (5.9), получаем

yiL)-Wip)xii) + \Vj{p)Jit). (5.12)

Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы

N пгг чпл. ч о(Р)ВЛр) Bip) U(.) = U.(pK(P> = -. (5лз,

Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как oTiioine-ние изображе1И-1Й управляемой величины и ошибки при пулевых началыи)1х значе-}1иях и возмущаюнигх воздействиях, равщях ггулю:

гдер = с +7(0 - комплексная величина.

При.менительно к функциям BpcMeini, которые использовались в формулах (5.7), (5.9) и (5.12), передаточная фу1п<ция разомкнутой системы дает воз.мож1гость в символической или операторной фор.\1е записать дифференциальное уравнение, связы-ваюп1ее управляемую величину yit) с огнибкой ,г() в разомкнутой системе:

yit) = Wip) xit), (.5.15)

гдер = d/dt - оператор дифферепцирования.

Учитывая (5.13), фор.мулу (5.15) можно также за1И1сать в виде

Cip)yit) = Bip)xil). (5.16)

Передаточная фун<ция разомкнутой системы имеет весь.ма большое значение в теории автоматического управления, так как многие методы апа.,1иза и синтеза основаны на использовании именно этой функции.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предиоложи.м, что чувствительный элемент соединен с объектом. При этом можно использовать так называемое уравнение замыкания (5.3):

xit)-git)-y(t). (5.17)

Решая (5.12) и (5.17) сов.местно, получаем для управляемой величины



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [ 27 ] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248