Глава 25

АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 25.1. Системы экстремального управления

Системами экстремального управления называются системы, в которых задающие во,здействия, как отмечалось в главе 1, онреде.чяются автоматически в соответствии с экстремумом (максимумом или минимумом) некоторой функции F {У\,У2, у-, ., г/ ). Эта функция зависит ие только от управляемых величин г/ .. .,у , но и от неконтролируемых параметров системы и времени .Поэтому она не является постоянной и заранее известной. Однако изменепие функции f и смен1ение экстремальных значений

управляемых величин г/, = г/,3, г/2 = Уъ.....Уп Уп.> протекает относительно медленно.

Общие принципы построения экстремальных систем рассмотрены в главе 2.

Условием экстрему.ма дифференцируемой фу1п<ции нескольких переменных Т(У\, У2 < Уп) является равенство нулю в точке экстремума частных производных этой функции:

f = 0, f = 0,.. f=0. (25.0

г/, (1у2 dy

Градиентом функции /называется векторная величина

, dr т? dF dF г-

grad/=/:,-- + /C2-- + ...+ /: --, (25.2;

т dy, dy

где .....К - единичные векторы осей, но которым отсчитываются величины г/ .. .,г/ .

В точке экстремума градиент равен нулю;

gradf=0. (25.3)

Задача поиска экстремума разбивается на две:

1) определение градиента;

2) оргапи;}ация движения в точке экстремума.

Для решения как первой, так и второй задачи предложено .много способов. Ниже будут рассмотрены только простейшие из них [44]. Обратимся сначала к задаче определения градиента.

Способ синхронного детектирования. с1юс06 основан на то.м, что к основным .медленно .меняющимся величинам г/ ..., г/ добавляются малые гармонические (в общем случае периодические) составляюпще:

г/, = г/ + Д sina)t; У2 -У2 + 2sina)2f;

Уп = ,?/ +Л, sin co t.

(25.4;

/lisinaij

Aismmt

Упранляс-мый объект

sin (01

СД2-4-- 2

Величина F (г/,.....г/ ) поступает па синхронные детекторы (рис. 25.1), у которых в качестве опорных величин используются те же перемепныесоставляющие (25.4). Идеа 1ь-пые синхронные детекторы умножают величину f на нереключаюн1ую фупкпию, представляющую собой прямоугольную волну с периодом 7 =2л/со, (/ = 1,2,.,.,и) и высотой единица. Переключающая функция ирибли-жеппо .может быть заменена синусоидой частоты СО; с единичной амплитудой. Поэтому средние значения выходных величии синхронных детекторов и ..., w приближенно могут быть представлены в виде

Рис, 25,1

W, = f sinco,/ W2=fsinco2t, w = fsincot.

в квазистациопарном режиме, когда сосгавляюипге у меняются медлеппо по сравнению с поисковым движением Л,- sinco,/;, величины .....м с точностью /ю .малых

высших порядков пропорциональны соответствующим частным производным

clF dF

dy dy У\=У\У2=У2---Уп=Уп и, следовательно, определяют grad f в

этой точке.

Для доказательства этого разложим функцию f в окрестностях точки у1,...,у в степепиой ряд:

F(yl+Ay ...,y +Ay ) = F(yl...,y:,)-

dF°

2l-0

-Аг/,-1-- У

УАУк+-:г, Z

3 cO

?>-\M:=\dyidykdy,

Дг/,Дг/Дг/+.

(25,5)

В последнем выражении значения частных производных соответствуют точке г/[ ,.,.г/a Дг/, = Л,sinco,t . Дг/ = Л sina) t.

Выходные величины синхронных детекторов можно представить в виде

/ \ dF

= Fsincof = F( г/f,уЛъттГ + Y ,Ai--sinco,t.sincot-i-

!=i dyi

dF dyidyk

sincoyt.sincotsinco t-i-,..

Если величины ;/{*,..., г/ постоянны или меняются настолько медленно, что их изменениями за неболыпой период можно пренебречь, то, учитыва>1 очевидные равенства:

sinwyf =0;

sma),tsina)/ = - (i = q);\ (25.7)

sinco,tsinco,t = 0 {iq),

выражение (25.6) .можно свести к виду

1 . л

Il (25.8)

Погрешность метола опреде.пяется члено.м Дм,, которому соответствует выражение

1 dF

(25.9)

1 J f

+- Т Л;/1,Д,---sincO:tsincO/tsinco t.sinco,/ + ...

3!;,а7=1 dy,dyi,dy

Величина Дм по отношению к а.мплитудам Л ..., Л имеет порядок .малости не ниже третьего, а но сравнению с - не ниже второго. Если частоты выбраны по закону нечетных чисел а), = (2г-- 1)а)о, где = const, то удовлетворяются условия О); Фщ{1Фк) и О),- ±(а ±Uiq. Тогда

sin cOjfsin cot sin cot = 0 (25.10)

и величина hu имеет порядок малости не ниже четвертого.

Таким образо.м, выходные величины cnnxpoinibix детекторов с достаточной степенью точности можно считать пронорциоггальными составляющим трълтпта f в точке

1 , dF

. = 2- (25.11)

Способ производной по времени. Производная по времени функции F (z/j,..., у ) определяется выражение.м

dF dF dy dldy (25.12)

dt dy dt dy dt