В рассматриваемом случае уравнепие Беллмана (24.41) имеет вид

Эф Л Эф

= 0,

(24.46)

где а,у - элемент матрицы а .

Оказывается, что функция ф , входящая в (24.46), является функцией Ляпунова, а фу1П<цня V в функционале (24.45) - ее полной производной, т. е.

чем решается вопрос об устойчивосги синтезируемой системы (см. § 17.2).

Так как на управление и ограничения не накладываются и а > О, то .мини.му.м в (24.46) достигается в точке, где обращается в нуль производная по и. т. е. при

1 , Эф

Подставим это значение в (24.46). В результате и.меелг

Эф А Эф А А 2 1 ГЗфЛ

= 0.

(24.47)

(24.48)

Это - нелинейное уравнепие в частных производных относительно функции ф . Булем искать решение этого уравнения в виде квадратичной формы от фазовых координат:

Здесь Г = у у торию Сильвестра

Ф = 11у*Лх,=хГх. (24.49)

квадратная матрица коэффициентов, удовлетворяющая кри-

Yi,>0,

Yii Yi2 Y21 Y22

>0,

Yi,-Yi

Y i-Y

>0,

(24.50)

И1)пчем матрица может быть принята симметричной, т. е. у, . Функция (24.49) удовлетворяет граничному условию, так как прн x = О (i = 1,..., и) и.меем ф = О . Дифференцируя (24.49), гмеем

dt дх, п;

Подставляя [юлучеипые выражения в (24.48), приходи.м к уравнению вида

i=\ k=\

Vi=l k--\

= 0.

(24.5Г

В левой части (24.51) находится квадратичная форма пере.мен(гых Xj,.г . Он; будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффт1иентов:

П j п п

= 0 (7 = )

(24.52;

В результате получена система из 0,5и (и + 1) алгебраических уравнений, содержа-Н1ИХ такое же количество неизвестных у,/; (п1)и учете равенства коэффициентов у, = у,,)

После нахождения неизвестных коэффициентов у из (24.47) можно определит!, оптимальное управление

1 Л, Эф 1 , , ,

(24.53;

Аналогичный результат может быть получен при использовании классических методов вариационного исчисления (§ 24.2).

В большинстве случаев результаты, полученные при помонш данного .метода, не могут быть peajHi30BaHbi точно вследствие пеобходи.мости исполызовать для управления все фазовые координаты. Поэто.му приходится говорить лип[ь о приближенной реализации полученных условий оптимальности. Кроме того, ие учитываются реальнс всегда сушествуюшие ограничения. Другие подходы к ренюнию задачи аналитического конструирования содержатся в работах [35,43,55].

§ 24.5. Использование принципа максимума

Принцип максимума как метод оптимизации процессов управления разработан школой Л. С. Понтрягина [68].

Допусти.м, что дифференциальные уравнения объекта в.месте с 1геизменяемой частью управляющего устройства заданы в обшей фор.ме (24.1):

J = 7(x,iZ). (24..54)

На управление Uj могут нак.тадываться ограничения, например, в виде неравенств (24.5). Цель у [фавления состоит н переводе объекта из начального состояния x(tQ) н

I=JMx,u)dt. 2А.55)

Введем всномо1ательные переменные \\ii,\i-2,..., и образуем функцию

H{Mf,x,u) = -fQ{x,u) + Y\sfJi{x,u) =

(24.56)

= -/o(. ) + vV(. )-

Г1рин[1ип максимума гласит, что для оптимальности системы, т. е. для получения .мини.мума функционала (24.55), необходимо существование таких ненулевых ненре-рыв1[ых функций v/,(t), удовлетворяющих уравнению

V =--(24.57)

что нри любом t, находящемся в заданно.м диапазоне tg < f < , величина 77, как функция до[1устимо1о управления й, достигает максимума.

Максимум функции Яопределяется, как обычно, из условий

если м не достигает грапи[1 области [/, и как точная верхр[яя rpatn> функции Я по м в противном случае.

Принцип максиму.ма согласно П1)нведе1пп>1м формулировкам дает только необходимые условия онти.мальпости. Установить их достаточность очень труд[[о. Поэтому в практических ири-юже1[иях заранее интуитивно предполагают достаточность но фи-зическо.му смыслу исследуемой системы.

Для лииейгюго одномерного объекта (24.3) выражения (24.56) п (24.57) прир[има-ют вид

77(ф,х,м) = -/о(х,м) + хЛф + Ф ; (24.59)

Применение при1щипа максимума проиллюстрируем примерами. Пример 1, Используем принци[1 максимума для решения задачи, рассмотреи-1ЮЙ в § 24.2.

конечное состояние x(t). Момент окончания процесса может быть фиксированны.\[ или свободным. Критерием оптимальности пусть будет .минимум функционала (24.11)