Итак, в соответствии с изложенным введем функциональное уравнеиие

[f., x(t,)] = mm \ /(х,и) dt,

(24.31)

на основании которого может быть найдено оптимальное управление и(х).

Если иа промежутке t, f, выбрать про.межуточную точку f то на основании принципа оптиматьпости

¥[k.(o) = U

lf(x,u)dt + \vK,x(t,)]

(24.32)

Функция \\l и оптима.,тьпое управление обычно ие .могут быть найдены аналитичес:-ки.м путем. Для этой цели применяются приближенные методы с использованием вычислительных манит. Рассмотрим идею П1)иближепного расчета.

Пусть t ~ фиксированное значение вре.мени, а At - малый отрезок времени, причем Q<t + At< t . Тогда

\(/(/ .т) = пйп

fo(x,II)dx+ J fQ(x,II)dx

(24.33)

Вид управления г7(т) на интервале t + At, t не оказывает влияния па первое слагаемое в правой части (24.33). Позгому на рассматриваемо.м иптервгые времени следует так выбрать управление, чтобы .минимизировать второе слагае.мое в правой части (24.33) при выполнении условий

м(х)е(7, х(1)еХ, J(tJeG,.. г + А;;<т<с,. (24.34)

, На основании нринципа оптимальности нсрсггиню.м (24.33) слелуюпщм образом:

\\i(t.х) = т\п< fQ(x,u)dx + \\ilt + At,x (t + At)]

(2435)

Иа интервале Г, г + At управление м(т) должно быть выбрано так, чтобы мштмизи-ровать правую часть (24.35). От зтого выбора :!ависят оба (шгаемых правой части.

Замершм па малом интервале Д/: матричную функцию /(J,m) и функцию f(){x,u) их фиксированными значения.ми в точке t, а производную х othohichhcm конечных ра,зностей Дх = x{t + At) - x{t) и At. Тогда вместо (24.35) можно записать приближенно:

\(/ (t,x) mjn{/o(x,m) At + ij/(r -f- Д/, x + Ах}. (24.36)

Кроме того, имее.м

x + Ajc = xit+At) = 5cit) + At-f{x{t),uit)\ = I + AL- ~f{x,u). (24,37)

\\f(t, -At,.r) = min/o[x,M(t, -A01-At;

x + Ax = x + AL-f\x,n(t

(24.38)

Далее фиксируется произвольное значение хе X . Минимум правой части первого равенства (24.38) вычисляется по те.м значениям u(t-At) из множества U , для которых точка х + Ах, определяемая вторым равенством (24.38), соответствует значению b&Gk- Если для какой-либо точки таких значений Ti{t ~AL) пе существует, то функция ч>(к ~ А/.) не определена в этой точке.

Таки.м образом, по значению функции Щt,x) можно приближегиго определить значения функции {t,- At,x) на некотором подмножестве X] из Л. Так как на интервале t - At, г, управление м(т) принято постоянным и равным г7(г - At),то одновременно с нахождением функции (t, -At,x) приближенно найдено управление Ti{tf. - At,x), которое реализует эту функцию.

Последующие шаги рассчитываются аналогично. Если весь интервал управления f,( разбит на m шагов, то после т-го шага определяется функция ф(0,.г), на подмножестве Х из X и управление г7(0,.г), как кусочно-постоянная функция с интервалами постоянства At. Если начальная точка хф)-а принадлежит подмножеству Х, для которого определена функция ф(0,х), то, положив .г = я , получае.м Vf{Q,a) - минимум функционала (24.11) исходной задачи управления и м(0,а) = м *(т) - оптимальное управление. Подставляя затем огггимальноеунравлещге в (24.1) и решая систе.му исходных дифференциальных уравнений, можно определить оптима.мьиую траекторию движения х*(т).

Серьезным недостатком .метода является то, что с росто.м размерности задачи (порядка п диффереициалыюго уравнения) существенно возрастают требования к быстродействию и объему памяти вычислительных машин.

Введем предположение, что функция vjJ имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам: t, х х .Тогда в равенстве (24.36) функцию + At,x+ Ах) можно представить следующим образом:

V;(t + At, х+Ах) = \\i(t,x) +

dt Эх,- dt

At+6(At)At. (24.39)

Здесь 5(At) - величина более высокого порядка малости, чем At. Входящие в правую часть (24,39) производные х удовлетворяют (24.1). Поэтому

V (t + At, X + Ах) = vi7(t, X)+

dthx

At+6(At)At. (24.40)

Наосновании (24.36) и (24.37) .можно найти ириближенпоозначение .Для

конечного момента времени t и любых xeGj, следует, что Щ(,,.г) = 0. Поэтому вычисление Щ£,х) удобно начинать с конца, т. е. с момента времени t = и области (7. На первом шаге расчета рассматривается .момент времени t = t- At. При t + At = С. величина х + Ах вследствие краевого условия принадлежит множеству С.. Подставляя в (24.36) и (24.37) значение t = t- Atii учитывая, что \(1.,х) = О , имеем

Подставим (24.40) в (24.36). Функция (t.,x) не зависит от управления u(t) в момент L Поэтому ее можно вьи1ести за знак минимума. Деля полученное равенство на At и переходя к пределу при At -> О , имее.м

и [dl ,-,dTi J

при условиях

± = J(x,u), Щ) = а, x(t) = bBGk, x(t)eX, 0<t<t. (24.42)

Уравнение (24.41) представляет собой уравнение Беллмана с краевым условием ii7(t,x) = 0. Су.м.ма первых двух членов (24.41) есть нолпая производная функции Щс,х) по вре.мени. Поэтому уравиепие Белл.маиа можно записать в другом виде:

nnnj + /ofx(t), (Ol} = 0. (24.43)

Требование непрерывной дифференцируемости функции Щ1,х) является весь.ма жестким и во .многих задачах не выполняется. В. Г. Болтянский показал [16], что можно ослабить требования к функции v(t,х). В пей допускаются разрывы частных производных на некотором .множестве точек.

Заметим, что если функции /о и / не .зависят явно от времени, то решение уравнения (24.43) - функция ij? и оптимальное управление й, которое реа.лизует мипиму.м, тоже не зависит явно от време[ги, т. е. ф = 17(х) и й = й(х), однако в обще.м случае Щ1,х) и M(t,x).

Аналитическое нахождение функщш ij? в явной форме удается только в некоторых частных случаях.

§ 24.4. Аналитическое конструирование регуляторов

Так называе.мая задача аналитического конструирования регуляторов была сфор-.мулирована и peniena А. М. Летовым [.5.5]. Эта задача развивалась также в работах А. А. Красовского [43] и Н. II. Красовского [45].

Пусть и.меется стациопарный объект, уравнения которого и.мегот вид (24.3):

i = Ax + bu. (24-44)

Требуется определить оптимальное управление и = и(х), .минимизирующее функционал качества

JCixf+au dt={vdi (с,>0, 2 = 1, ...,/z, а>0). (24.45)

.<=1

Задача у[1равления заключается п ([среводе систе.мы из начатьного состояния X,- = а,- (г = 1,н) при t = О в конечное ири .х,- = О при t -> оо . Из фор.мулировки задачи следует, что система должна быть при этом асимптотически устойчива.