Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 [ 234 ] 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Используем решение классической вариациопной задачи для синтеза оптимального уравнения.

Положим, что дифференциальное уравнение объекта имеет вид (24.3). Введем в фуикнию /,) дополпительные переменные ми м, т. е. сформируем функционал (24.12) в виде

I=jfoixi,...x ;x\,...x ;u,u)dt. (24.15)

При этом грапичтн>1е условия задаются только для х но требование дважды дифференцируемости распространяется на все переменные. Уравнения (24.13) тоже составляются для всех переменных, т. е. г = 1,2,..., ?г -ь 1.

Динамические свойства объекта учтем в виде ограничения типа нсголономных связей (24.8), где функция 67 определяется из дифферетгциального уравнения (24,3). Тогда в уравнениях (24.13) вместо функции /о .юлжна использоваться функция

H = k)+Y?kiOGk> (24.16)

где (/.) - произвольные множители Дагранжа, в общем случае зависящие от времени t.

Рассмотрим простейший пример. Пусть объект описывается уравнением

a,)-t-I-а,х = м; (24.17)

(ац/Л-д,)- = . (24.18)

гдед: = г/ - управляемая величина, P~~J-

Цель управления заключается в переводе объекта из состояния х(0) = О при /о = О в состояние x{t ) = Xq, гдехц - задающее воздействие. Функционал (24.15) представим в виде

I = \\{x-XQf+v?u-\dt, (24.19)

где р. - некоторый весовой коэффициепт.

Динамические свойства объекта (24.17) учтем в виде ограничения (24.3):

(7=ао-г- + а,.г-м = 0. (24.20)

Другие ограничения пахци отсутствуют. Формируем функцию (24.16):

Я = (л- - То )Ч цм -(- X {ах + щх-и). (24.21)



Для получения уравнений Эйлера (24.13) находим:

- = 2(х-Х(,) + Ла - = Ла ; ох дх

-- = 2рм-л, - = 0.

ди ди

Таким образом, уравнения (24.13) и.меют вид

2(х-Хо) + А ,--(Х о) = 0, 2рм-Л = 0.

Из уравнений (24.22) определяем оптимальное управление

(24.2;)

и=-2р

2 (24.23)

, 2(х-Хо)

(24.24)

Подставив (24.23) и (24.24) в уравнение (24.18) нолучае.м дифференциальное ура li-нение объекта при опти,ма..тьно.м управлении:

(p4V-pV-1)=--o- (24-23;

Для его решения находим корпи характеристического уравнения:

i,2=±VlVaF = ±a.

Тогда (см. табл. 7.1)

Pu=±Vl + l 1 =±ot. (24.2(5)

x(0 = .o+Cie-+Cy. (24-27)

где при заданных граничных условиях х (0) = О, х (i,J = х

Выражение (24.27) определяет опти.мальную траекторию движения объекта. О ти.мальное управление находим из (24.18) с учетом (24.27):

м(0 = а,хо +С,(а, -owo)- +C2( i +ow )e , (24.2.;



х(ОеЛ, x(to) = aoeGo, х(с) = ЬеС,-

(24.30)

Далее, пусть при заданном начальном состоянии х(/,о) = ао существует оптимальное управление м(г,ад),обеспечивающее.мини.мумфункционала(24.И),а x(t,ao) - опти.мальная траектория в пространстве состояний. Выберем произвольный момент времени tj, принадлежащий иптерва,чу Гд- обозначим через а, точку , = x(fi,ao) на опти.мальной траектории x(t,aQ ). Принцип онти.мальпости состоит в следующем.

Если принять значения t, и а, за начальные, то на интервале t f, оптимальное управление u{t,dy) совпадет с опти.мальным управлением й{1,а) и, следовательно, участок опти.мальной Траектории х{1,а) для задачи с начальной точкой {(,а) на интервале f совпадет с оптимальной траекторией для задачи с начальной точкой (tj .а,). Доказательство достаточ по очевидно. Оно исходит из того, что .значение функционала качества на участке Г должно быть одинаковым при управлениях г7(г,а,) и и{1,а). Если бы это было не так и значение функционала на этом интервале времени было бы, например, меньше для управления м((,а,), то управление й{1,а) можно было бы улучшить, ,за.мепив его управлением M(t,a,), что противоречит нрипято.му предположению об оптимальности управления й{1,а).

где 0<Г<£ .

Если tf. = оо, то С, = -Xq, Сг = 0. Тогда

и(с) = х [а, + (ооо -й)]. (24.29)

Во.зможпость реа.,111зации 0Г1тима1ЫИ>1Х алгорит.мов управления (24.28) в за.мкнутой системе здесь не рассматривается.

Из этого примера следует, что даже для простейшего объекта решение задачи синтеза оптимального управления методами классического вариационного исчисления оказывается не очень простым. Однако основные трудности возникают при наличии ограничений в виде неравенств (24.5) и (24.6), а также (что является главным) в связи с тем, что допустимые управления могут быть пе только пепрерывпы.ми, но и раз])ыв-пыми. Поэтому для решепия пеклассических задач обычно применяют другие.методы. К ним относятся, например, разработанные в середине XX века динамическое п[)о-граммирование и принцип максимума, краткое изложение которых дастся в следую-пшх параграфах.

§ 24.3. Динамическое программирование

Метод динамического программирования был разработан Р. Беллманом [4. Он применим пе только для реп1е1и1я задач оптимизации систем управления, но п для самых ра.зличных технических и эко1Юмичсских задач.

Пусть система описывается уравнениями (24.1), в качестве критерия оптимальности принят функционал (24.11), а переменные состоятся и управления принадлежат некоторым замкнутым (ограниченным) пространствам, т. е.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 [ 234 ] 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248