Тогда все медленно протекающие процессы в данной пелипейпой системе можно будет рассч1ггывать ие по уравпеиию (21.41), а по линейному уравнению

IQ(/;) + k,R (/;).г = 5, (р)/, (О- (21.44)

Ири этом очень супюстветю то, что коэффициент усиления (рис. 21.8, а) будет зависеть пе только от структуры и параметров самой системы, как было при автоколебаниях, по также и от амплитуды В и частоты со впешнего периодического во.здействия, которые? могут меняться в известных пределах независимо от самой системы. Поэтому вибрационное сглаживание нелинейных характеристик нри помощи вынужденных колебаний обладает значительно больниши практическими в()змож1и)стями, чем при автоколебаниях, и довольно часто применяется в технике, особенно в релейных систе.мах автоматического унравлспня. Однако в некоторых случаях вибрационное сглаживание может приводить к вредным иоследствия.м, вплоть до потери устойчивости системы.

С точки зрения упрощения ренюния задачи важно иметь в виду, что для всех не-четпо-сим.метричпых нелинейностей F(x), как од1юзначных, так я петлевых, вычисление коэс}с)ИЦиепга /г ири линеаризации с))упкции смещения .можно производит!), как было показано в § 19.2, пе по с))ормуле (21.43), а по более простой формуле:

т. е. непосредственно по первому из выражений (21.29), не определяя вовсе самой функции смещения Ф (х). Выражения k (а ), найдс1П1ые по (}юрмуле (21,45), для некоторых нелинейностей приведены в табл. 21.1. Гео.метрически величина к (будет крутизной кривой f (х°) в начале координат, например кривой F(x) па рис. 21.6, а в начале координат. Чтобы взять при это.м определенную кривую из изображенной на рис. 21.6, а серии кривых для ра;личпых а , нужно предварительно но заданным значениям амплитуды В и частоты со впентего периодического воздействия найти величину амплитуды вынужденных колебаний а ири х = 0. Но эта задача была уже решена в § 21.1, причем результат решения представлен в виде графика рис. 21.4. Следовательно, теперь для подстановки в ()ормулу (21.45) или для рис. 21.6, а нужно взять просто готовые значения а из рис. 21.4 для заданных S и со .

При это.м легко могут быть построены зависимости величины ие только от В и со (рис. 21.8, б), но также и от любого параметра системы (рис. 21.8, в), влияние которого желательно исследовать и от которого зависит амплитуда вынужденных колебаний а (рис. 21.2, с), фигурирующая па рис. 21.6, в.

§ 21.3. Зависимость устойчивости и качества

нелинейных систем от внешних вибраций

После определения функции смещения f = CD (х ) открывается возможность исследовать по уравнению (21.41) или по линейному уравнению (21.44) любые медленно меняющиеся процессы в системе.

Устойчивость равновесия

Рис. 21.9

При заданно.м k

Устойчивость I равновесия I

Устойчивость систе.мы ио .медленно меняющейся составляющей можно рассматривать тоже иуте.м исследования нелинейного уравнения (21.41) или же линейного уравнения (21.44).

На устойчивость системы существенно может влиять величина а.мплитуды В и частоты а) внешнего периодического воздействия, так как от них зависят вид функции смещения Ф (х ) и величина ко.зф({)ициента ц. Это является совершенно новым и очень важным специфически нелинейным фактором, который в предыдущих главах еще не встречался. В линейных системах такое явление вообще отсутствует.

При использовании линейного уравнения (21.44) .можно применять обычные критерии устойчивости линейных систем (Гурвица, Найквиста) и обычные логариф.ми-ческие частотные характеристики.

Может оказаться, что область устойчивости систе.мы по какому-либо параметру к (рнс. 21.9, а) сужается, как показано па рис. 21.9, б, при увеличении ампл]ггуды В внешних помех, и.меюпн1х вид вибраций заданной частоты о) . Вследствие этого для каждого значения к при данной частоте внешних вибраций .может быть свое критическое значение их амплитуды В, при которо.м систе.ма становится неустойчивой. Аналогично, меняя частоту вибрашп! a),j, М0Ж1Ю определить для заданного значения параметра зависимость критической амплитуды впепншх вибраций от частоты (рис. 21.9, в) - rpaiHHiy вибрационной помехоустойчивости систе.мы.

.Важно при этом иметь в виду, что при из.меиении параметров системы меняется и коэффициент и очертание функции смещения Ф (х**). Поэто.му, строя области устойчивости системы по како.му-нибудь параметру (рис. 21.9), нужно соответствеппо все время менять величину в уравнении (21.44) или Ф (.г ) в (21.41), т. е. при построении области устойчивости нужно учитывать, что любой параметр системы к может входить не только в состав й(р) и Q(/5), по также и в состав величины Завнси.мость же величины Л от любого параметра системы нетрудно найти нредварителыю согласпо § 21.2 (см., например, рис. 21.8, в).

Кроме исследования устойчивости нелинейной систе.мы, можно по уравпепию (21.41) или (21.44) провести полный анализ всех динамических качеств нелипейио11 системы, подверженной внешним вибрациям (качество переходных процессов, статические и динамические ошибки), при любых медленно .меняющихся по сравнению с вибрация.чн! ВИС11И1ИХ воздействиях /[ (t).

По указанным уравнештям .могут определяться и вынужденные колебания системы на 1Н13КИХ частотах, если медлетю меняющееся воздействие/, (Г) из.меняется периодически, т. е. имеется возможность исследования двухчастотиых вынужденных колебаний нелинейной системы при большой разнице частот. Можно и здесь (как и

hit)

3

H 0ста;1ьмая I часть I системы

Рис, 21.10

§ 19.2) проводить разделение общего движения нелинейной системы не только на два, но и на три вида по степени медленности движения во времени.

В результате всех перечисленных расчетов будет выявлена специфическая для нелинеЙ1п,1Х систем зависимость всех статических и динамических качеств и даже ее устойчивости от величины амплитуды В и частоты Шц внешнего периодического воздействия (вибраций), что в некоторых случаях на [фактике может оказаться peniaiouuiv для создагшя качественной автоматической системы.

Изложенная общая теория поведения нелинейных автоматических систем при наличии впешнего периодического воздействия (вибращ-н!) мс1жетзнач1ггельно упрощаться в ра:(личных частных задачах.

Приведем .здесь видоиз.мепепиеэтой обп1ей теории для следующих двух наиболее типичных частиых задач:

1) приложение специального внешнего периодического воздействия с цсшю вибрационного сглаживания цстипейности (с последующей линеаризацией сгла-же1П10Й характеристики при расчете систе.мы в целом);

2) исследование работы нелинейной автоматической системы при высокочастотных внеппшх вибрагрюнных гюмехах, когда пе все звенья системы пропускают эти вибрации.

Задача 1 . Когда в любой автоматической системе прикладывается внешнее периодическое во.зденствие/2 {t) (рис. 21.10) специально для того, чтобы произвести вибрационное сглаживание нелинейпостп, то обязатель(ю ставится условие, чтобы на выходе а.мплитуда вынужденных колебаний .V3 была практически ничтожной. В jie-зультате этого пере.менныехзих, (рис. 21.10) Гфактически не будут содержать колеба-телыюй составляюп1ей, а будут определяться через ме;1лепно меняющееся воздействие /1 (О но уравнениям типа (21.41) илп (21.44). Поэтому иере.мегтая х иа входе нелинеп-1ЮГ0 звена будет

х = х +х*

в sin ш С.

(21.46)

Следовательно, в данно11 задаче (вибрационная линеаризация нелинейности нри по.мощи вынужденных колеба1шй) пет необходимости в решении уравнения (21.32) или (21.33) для определения колебательных составляющих, ибо, соглас1!0 (21.26), уже имеется готовое решение

а = Л, ф = 0. (21.47)

Поскольку внешнее периодическое во;<де11ствие/2 (t) нред1юлагается приложенным к системе непосредственно там же, где и х (рис. 21.10), то в уравнении (21.24), составленном для исследуемой части системы (не включая пунктирной части на рис. 21.10), будет

52(p) = Q(p). (21.48)