Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

лит на одночастотныс колебания с частотой со только ири В > й ур, наблюдается чаихе всего в таких нелинейных системах, которые до приложения внешнего периодического воздействия работают в автоколебательном режиме. При этом величина B, обращается в нуль в то.м случае, когда частота со совпадает с частотой автоколебаний со данной системы (рис. 21.3, г). й р равно нулю обычно также в области отсутствия автоколебаний (область устойчивости равновесия системы, рис. 21.3, д).

Тогда выше кривых па рис. 21.3, г, с) будут лежать значения амплитуды В внешнего воздействия, при которых суп1;ествуст одночастотный режим вынужденных колебаний с частотой со,з (область захватывания), а при значениях, лежащих ниже криво!!, будет и.меть место более сложное вынужденное движение системы. Это и является определением (пока графическим) условий захватывания, о которых говорилось выше.

В других нелинейных систе.мах может быть В о, = О, как в случае рис. 21.3, б.

Аналитический метод, Из равенства (21.14) или (21.15) можно получить аналитические выражения для определения амплитуды а и сдвига (})азы ф одночастотных вынужденных колебаний нелинейной системы. Для этого выделим вещественные и мни.мые части числителя и знаменателя и запишем равенства для модулей и аргументов обеих частей уравнения (21.14) или (21.15):

,Х(. ,coJ.F(.,.,coJ., , Х(со,) + у2(со )

Ф = -агсГйДМ.агсС8-М, (21.18)

X(a ,coJ 5(4)

гдеХи У - вещественная и мнимая части числителя выражения (21.14) или (21.15); X.,-и Уу- вещественная и мнимая части знаменателя, т. е. 5(/Шв). При этом X и Усоответ-ствуют левой части заданного нелинейного уравнения (21.2), т. е. являются теми жс самыми выражепняхпгХи У, которые применялись при исследовании автоколебаний (§ 18.2), а Ху и Уу являются новыми выражениями, соответствуюнпгми правой части заданного нелинейного уравнения (21.2).

Как видим, выражение (21.17) может, Boo6nie говоря, оказаться довольно сложным алгебраически.м уравнением относительно а . Однако важно то, что это уравнение содержит липн> одну неизвестную а , которая, следовательно, так или иначе может быть определена. После этого фазовый сдвиг ф легко вычисляется но фор.муле (21.18). Напомним, что и при отыскании автоколебаний (глава 18) часто получалось сложное относительно а уравнение, но это не вызывало больпшх .затруднений. Действительно, в большинстве случаев интересуются тем, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от частоты и амплитуды внептего во:!действия, а также при изменении того или иного параметра системы. Указанные параметры могут входить в уравнение (21,17) более простым образом, чем амплитуда а . Тогда уравнение (21.17) можно будет разрепигть в явном виде относительно любого из этихч1ара-метров, а зате.м, задаваясь разны.ми значениями а и вычисляя но найденной фор.муле рассматриваемый параметр, можно построить искомые зависимости а (В), а (со ) или а (k) и т. п.; затем по фор.муле (21.18) можно также вычислить для каждого случая фазовый сдвиг ф.




-М (а)


Рис. 21,4

Рис. 21.5

Например, возможен следующий простой прием решения уравнения (21.17). Для каждой заданной частоты внепшего во.здействия ш буде.м задаваться разными зпачепия.ми а и вычислять каждый раз величину В. По результатам этих вычислений легко строится график (рнс. 21.4), который и представляет собой искомое решение уравиепия (21.17).

Что касается условия захватывать, то оно .может быть опре.телепо аналитически как условие суп1ествоваиия вещественного положительного решения для в уравнении (21.17). Это условие автоматически выявится при построении графика типа рис. 21.4.

Итак, получены амплитуда и сдвиг фазы ф вынужденных колебаний для пере-мешюй X, стояп1ей под знаком нелинейной фут<ции. После этого .\и)Жпо подсчитать амплитуду и фазу первой гар.моники вынужденных колебагтй для любой другой переменной исследуемой системы на основании соответствуюиптх уравнений пли передаточных функций звеньев, связываюнщх эту переменную с переменной х.

Частотный метод. Пусть нелинейное звено в систе.ме онределяется уравнением

y = F{x).

(21.19)

Находи.м для пего прибчиженную амплитудно-фазовую характеристику W(a) согласно фор.мулам (18,210) и (18.211). Рассмотри.м два случая.

Первый с л у ч а й. Передаточная функция х , замкнутой сисгемы такова, что

X 1 М.,(/ш)

- - (21.20)

/ i + W AJ(xmXa) M,(7W) + VK (G)

- обратная а.\шлитудпо-фазовая характеристика линейгюй части.

гдеМлОа))= . л(7 )

Изобразим характеристики (jm) и -U (а) на комплексной н.тоскосги (рис. 21.5).

Амплитуда a вынужденных колебаний величины хопределяет точку Д а час гота шуточку е. Из формулы (21.20) и из чертежа (рис. 21.5) находим

.1 (7Шв)

M,(jmJ + W,(a) DE



откуда амплитуда В виептего периодического воздействия/получает значепие

й = - п- (21.21)

Переметая точку D вдоль кривой ~ W (а), можно найти зависимость величи иы я от в при заданной частоте со , а перемещая точку Е - завнси.мость величин1> а от частоты со .

Второй с л у ч а й. Передаточная функция x/f замкнутой системы такова, что х \У,и(л) 1

/ l + W,(jco)W (fl) M,Oco) + U/ ( ) 2-22)

. Тогда иа осповапии этой формулы и чертежа (рис. 21.5) получаем

fl 1 1

откуда

M,(yco) + lV ( ) DE

BDEuf,. (21.23)

В других случаях, когда передаточная с)ункция не подходит под частные виды (21.20) и (21.22), [юстроения усложняются.

§ 21.2. Несимметричные вынужденные колебания с медленно меняющейся составляющей

Вынуждеппые колебания будут неср[мметрнчными в следуюпшх случаях:

1) при несил[.метричных нелинейных характеристиках системы;

2) при наличии постоянного или .медленно ме[1яющегося внешнего воздействия (в статических системах);

3) при начичии постоянной или медлешюменяющейся скорости изменения внешнего воздействия (в астатических систе.мах).

В общем случае будем полагать, что к нсли[ейной системе приложены два B[ie-п[них воздействия, вследствие чего ее уравнение в.место (21.2) имеет вид

Q (р)л- + R (;;) Е(х,рх) = 5, (р)/, (О + (jp)h (О- (21-24)

причем/[ (t) - .медленно меняющееся внешнее воздействие, а/2 (О - периодическое ВИСН1НСС во.здейс;твие:

/2 (О = i5 sin со г. (21.25)

Медленно .меняющееся воздействие(f) считается мало изменяющимся ;ia период Гц = - , т. е. предполагается, что возможные частоты изменения/j (г) значительно

ниже частоты со .



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [ 215 ] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248