Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Повышение запаса устойчивости
В том стучае, когда, параметр к в исследуемой системе имеет значение, соответствующее точке £ (рис. 20.2), получается два варианта протекания переходного процесса. Если начальное положение изображающей точки будет ниже точки С(ао < а,-), то > О, т. е, колебания расходятся и изображающая точка идет, как показано стрелкой иа прямой ЕС, асимптотически приближаясь к точке С. Это соответствует процессу из.менения амплитуды колебаний во вре.мени, изображенному иа рис. 20.!з, 6. Если же Оо < а, то > О, и изображающая точка пойдет по пря.мой ис вниз (рис. 20.2), что соответствует затухающему переходному процессу (рис. 20.3, в), аси.мпто-тически приближающемуся к автоколебаниям с амгг- ЛИТуДОЙ UQ. Процессы, аналогичные .этому, будут иметь место ири любом значении параметра к правее точки Т> (рис. 20.2). Следовательно, область значений параметра, лежащая правее точки D, является областью существования автоколебаний, к которой сходятся колебательные переходные процессы с обеих сторон (снизу и сверху). Прн этом положение равновесия системы (любая точка а = О иа оси абсцисс) в данной области значений пара.метра является неустойчивым, так как колебания в переходном процессе от него расходятся, стремясь к другому устойчивому состоянию - автоколебательному режиму. Левее же точки D (рис. 20.2) лежат 31гачения параметра А-, при которых переходный процесс затухает от любой нача7п>иой амплитуды одо пуля. Это есть область устойчивости равповесчюго состояния системы. Левее линии ю = О (рис. 20.2) лежит обычно область .монотонных переходных процессов. Итак, если диаграммы качества для разных структурных схем какой-либо авто.матической системы построены по ра,зличным параметрам (к и др.), то они Moiyr атужить xoponiHM материалом для выбора наилучитх параметров нелинейной систе.мы при ее проектировании или синтезе. Обратимся теперь к способа.м построения этих диаграмм. Первый способ. Выделив в уравнении (20.18) вещественную Хи мнимую Участи, подобиотому как это делалось в главе 18, получим два уравнения: Х(а, со, 0 = 0, F(a, со, 0 = 0. (20.24) Пусть требуется построить диаграмму качества затухания нелинейных колебаний по иекоторо.му параметру системы к, который входит в коэффициенты уравиеиий (20.24). Выразив иа основании одного из этих уравнений величину mfiia, , к) (20.25) и подставив ее в другое из уравнений (20.24), найдем -/2(a.Q- (20.26) Тогда, придавая ра.зличные постоягтыезначения, по (20.26) можно легко построить семейство линий С, = const иа диаграм.ме качества (рис. 20.2). Зате.м, используя (20.25), можно построить также семейство линий со = const. Второй способ. Характеристическое уравнение (20.17) можно записать в развернутом виде: ;/ + + Ар - + ... + Л . ,р + А = О, (20.27) где все коэффициенты Л Лз,.... Л или часть из них являются функциями искомых величин а, со и (в простейп]их задачах только от а). Разложим левую часть уравнения (20.27) на два сомножителя: (р 2 + С, Ч ... + с; ,) (р2 + В,р (20.28) последний из которых соответствует основной паре комплексШ)1х корней р, С -УИ. определяющей колебательный переходный процесс в исследуе.мой системе. Тогда получаем = ~ ю = /2-С- (20.29) Первый из сомножителей (20.28) должен иметь значительно больнн[е по модулю корни, чем второй, чтобы колебательное решение, соответствующее искомым корням Pi 2 при принятых начальных условиях, бы.то основным. Коэффициенты разложения (20.28) связаны следующими соотношениями: Л, = С, + В Л2 = С2 - 2 + BiCi,А = С 2-б2- Для нахождения величин и со необходимо, очевидно, в формулах (20.29) выразить коэффициенты В, и В2 через коэффициенты первоначального уравнения (20.27). В частности, д.тя характеристического уравнения, третьей степени р* - Ар + А2Р + Лз = (р + С)(р + Вр +В2) = О имеем: Л, = С,-нВ Л2 = В2-нВ,С Лз=С,В2. (20.30) Чтобы значения и со (20.29) определяли основную часть решения, а третий корень уравнения можно было не учитывать, нужно, чтобы С, или л, (20.31) чем определяется верхний предел для значений , которые следует брать при построении диагра.ммы качества. Составим предпоследний определитель Гурвица: Но так как из (20.30) и (20.29) следует, что В2 + С1В,=Л2. С\ =(i -5,)В,=-2С, то получеипое выше выражение можно записать в виде Л2+(А+202] Л,Л2 Л2+(Л,+202 (20..32) Далее, поскольку из (20.30) следует, что 4 Дз с, л,-д то из (20.29) получаем формулу для квадрата частоты: 2 = л,+2 (20.33) Формулы (20.22) и (20.23) позволяют строить диагра.ммы качества для систем третьего порядка. Аналогично для системы четвертого порядка получаем / + Л,/ + ЛгР + Лзр = (р + Сур С2)(р + Вур +В2), (20.34) причем Л, =С,Л2=С2+52 + 110 Л3 =СВ2 + Д1С2; 4 =С2В2. (20.35) Здесь требуется, соблюдение того же условия (20.31). Исходя из выражения нредгюследпего определителя Гурвица, аналогичным путем находим формулу а затем 2(Л, +20{[Л2 + (Л +2022 -АЛ,+А,А:,} Я ,=Лз(Л,Л2-Лз)- Л?Л,; Л, (Л,+40 (20.36) 2 = (Л,+20(2+20-А: >-2 (20.37) Третий способ. Рассмотрим часто встречающийся частный случай, когда коэффициенты гармонической линеаризации qnq зависят только от амплитуды а и
|