Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 [ 210 ] 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

ас. Т ,

aUXr-r--

da )

0 \ / \ / t Рис. 20.3

В том стучае, когда, параметр к в исследуемой системе имеет значение, соответствующее точке £ (рис. 20.2), получается два варианта протекания переходного процесса. Если начальное положение изображающей точки будет ниже точки С(ао < а,-), то > О, т. е, колебания расходятся и изображающая точка идет, как показано стрелкой иа прямой ЕС, асимптотически приближаясь к точке С. Это соответствует процессу из.менения амплитуды колебаний во вре.мени, изображенному иа рис. 20.!з, 6. Если же Оо < а, то > О, и изображающая точка пойдет по пря.мой ис вниз (рис. 20.2), что соответствует затухающему переходному процессу (рис. 20.3, в), аси.мпто-тически приближающемуся к автоколебаниям с амгг-

ЛИТуДОЙ UQ.

Процессы, аналогичные .этому, будут иметь место ири любом значении параметра к правее точки Т> (рис. 20.2). Следовательно, область значений параметра, лежащая правее точки D, является областью существования автоколебаний, к которой сходятся колебательные переходные процессы с обеих сторон (снизу и сверху). Прн этом положение равновесия системы (любая точка а = О иа оси абсцисс) в данной области значений пара.метра является неустойчивым, так как колебания в переходном процессе от него расходятся, стремясь к другому устойчивому состоянию - автоколебательному режиму.

Левее же точки D (рис. 20.2) лежат 31гачения параметра А-, при которых переходный процесс затухает от любой нача7п>иой амплитуды одо пуля. Это есть область устойчивости равповесчюго состояния системы.

Левее линии ю = О (рис. 20.2) лежит обычно область .монотонных переходных процессов.

Итак, если диаграммы качества для разных структурных схем какой-либо авто.матической системы построены по ра,зличным параметрам (к и др.), то они Moiyr атужить xoponiHM материалом для выбора наилучитх параметров нелинейной систе.мы при ее проектировании или синтезе.

Обратимся теперь к способа.м построения этих диаграмм.

Первый способ. Выделив в уравнении (20.18) вещественную Хи мнимую Участи, подобиотому как это делалось в главе 18, получим два уравнения:

Х(а, со, 0 = 0, F(a, со, 0 = 0.

(20.24)

Пусть требуется построить диаграмму качества затухания нелинейных колебаний по иекоторо.му параметру системы к, который входит в коэффициенты уравиеиий (20.24). Выразив иа основании одного из этих уравнений величину

mfiia, , к)

(20.25)



и подставив ее в другое из уравнений (20.24), найдем

-/2(a.Q- (20.26)

Тогда, придавая ра.зличные постоягтыезначения, по (20.26) можно легко построить семейство линий С, = const иа диаграм.ме качества (рис. 20.2). Зате.м, используя (20.25), можно построить также семейство линий со = const.

Второй способ. Характеристическое уравнение (20.17) можно записать в развернутом виде:

;/ + + Ар - + ... + Л . ,р + А = О, (20.27)

где все коэффициенты Л Лз,.... Л или часть из них являются функциями искомых величин а, со и (в простейп]их задачах только от а). Разложим левую часть уравнения (20.27) на два сомножителя:

(р 2 + С, Ч ... + с; ,) (р2 + В,р (20.28)

последний из которых соответствует основной паре комплексШ)1х корней р, С -УИ. определяющей колебательный переходный процесс в исследуе.мой системе. Тогда получаем

= ~ ю = /2-С- (20.29)

Первый из сомножителей (20.28) должен иметь значительно больнн[е по модулю корни, чем второй, чтобы колебательное решение, соответствующее искомым корням Pi 2 при принятых начальных условиях, бы.то основным.

Коэффициенты разложения (20.28) связаны следующими соотношениями:

Л, = С, + В Л2 = С2 - 2 + BiCi,А = С 2-б2-

Для нахождения величин и со необходимо, очевидно, в формулах (20.29) выразить коэффициенты В, и В2 через коэффициенты первоначального уравнения (20.27). В частности, д.тя характеристического уравнения, третьей степени

р* - Ар + А2Р + Лз = (р + С)(р + Вр +В2) = О

имеем:

Л, = С,-нВ Л2 = В2-нВ,С Лз=С,В2. (20.30)

Чтобы значения и со (20.29) определяли основную часть решения, а третий корень уравнения можно было не учитывать, нужно, чтобы

С,

или л, (20.31)

чем определяется верхний предел для значений , которые следует брать при построении диагра.ммы качества.



Составим предпоследний определитель Гурвица:

Но так как из (20.30) и (20.29) следует, что В2 + С1В,=Л2. С\ =(i -5,)В,=-2С, то получеипое выше выражение можно записать в виде

Л2+(А+202]

Л,Л2

Л2+(Л,+202

(20..32)

Далее, поскольку из (20.30) следует, что

4 Дз

с, л,-д

то из (20.29) получаем формулу для квадрата частоты:

2 =

л,+2

(20.33)

Формулы (20.22) и (20.23) позволяют строить диагра.ммы качества для систем третьего порядка.

Аналогично для системы четвертого порядка получаем

/ + Л,/ + ЛгР + Лзр = (р + Сур С2)(р + Вур +В2), (20.34)

причем

Л, =С,Л2=С2+52 + 110

Л3 =СВ2 + Д1С2; 4 =С2В2.

(20.35)

Здесь требуется, соблюдение того же условия (20.31).

Исходя из выражения нредгюследпего определителя Гурвица, аналогичным путем находим формулу

а затем

2(Л, +20{[Л2 + (Л +2022 -АЛ,+А,А:,} Я ,=Лз(Л,Л2-Лз)- Л?Л,; Л, (Л,+40

(20.36)

2 =

(Л,+20(2+20-А:

>-2

(20.37)

Третий способ. Рассмотрим часто встречающийся частный случай, когда коэффициенты гармонической линеаризации qnq зависят только от амплитуды а и



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 [ 210 ] 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248