В том стучае, когда, параметр к в исследуемой системе имеет значение, соответствующее точке £ (рис. 20.2), получается два варианта протекания переходного процесса. Если начальное положение изображающей точки будет ниже точки С(ао < а,-), то > О, т. е, колебания расходятся и изображающая точка идет, как показано стрелкой иа прямой ЕС, асимптотически приближаясь к точке С. Это соответствует процессу из.менения амплитуды колебаний во вре.мени, изображенному иа рис. 20.!з, 6. Если же Оо < а, то > О, и изображающая точка пойдет по пря.мой ис вниз (рис. 20.2), что соответствует затухающему переходному процессу (рис. 20.3, в), аси.мпто-тически приближающемуся к автоколебаниям с амгг-

ЛИТуДОЙ UQ.

Процессы, аналогичные .этому, будут иметь место ири любом значении параметра к правее точки Т> (рис. 20.2). Следовательно, область значений параметра, лежащая правее точки D, является областью существования автоколебаний, к которой сходятся колебательные переходные процессы с обеих сторон (снизу и сверху). Прн этом положение равновесия системы (любая точка а = О иа оси абсцисс) в данной области значений пара.метра является неустойчивым, так как колебания в переходном процессе от него расходятся, стремясь к другому устойчивому состоянию - автоколебательному режиму.

Левее же точки D (рис. 20.2) лежат 31гачения параметра А-, при которых переходный процесс затухает от любой нача7п>иой амплитуды одо пуля. Это есть область устойчивости равповесчюго состояния системы.

Левее линии ю = О (рис. 20.2) лежит обычно область .монотонных переходных процессов.

Итак, если диаграммы качества для разных структурных схем какой-либо авто.матической системы построены по ра,зличным параметрам (к и др.), то они Moiyr атужить xoponiHM материалом для выбора наилучитх параметров нелинейной систе.мы при ее проектировании или синтезе.

Обратимся теперь к способа.м построения этих диаграмм.

Первый способ. Выделив в уравнении (20.18) вещественную Хи мнимую Участи, подобиотому как это делалось в главе 18, получим два уравнения:

Х(а, со, 0 = 0, F(a, со, 0 = 0.

(20.24)

Пусть требуется построить диаграмму качества затухания нелинейных колебаний по иекоторо.му параметру системы к, который входит в коэффициенты уравиеиий (20.24). Выразив иа основании одного из этих уравнений величину

mfiia, , к)

(20.25)

и подставив ее в другое из уравнений (20.24), найдем

-/2(a.Q- (20.26)

Тогда, придавая ра.зличные постоягтыезначения, по (20.26) можно легко построить семейство линий С, = const иа диаграм.ме качества (рис. 20.2). Зате.м, используя (20.25), можно построить также семейство линий со = const.

Второй способ. Характеристическое уравнение (20.17) можно записать в развернутом виде:

;/ + + Ар - + ... + Л . ,р + А = О, (20.27)

где все коэффициенты Л Лз,.... Л или часть из них являются функциями искомых величин а, со и (в простейп]их задачах только от а). Разложим левую часть уравнения (20.27) на два сомножителя:

(р 2 + С, Ч ... + с; ,) (р2 + В,р (20.28)

последний из которых соответствует основной паре комплексШ)1х корней р, С -УИ. определяющей колебательный переходный процесс в исследуе.мой системе. Тогда получаем

= ~ ю = /2-С- (20.29)

Первый из сомножителей (20.28) должен иметь значительно больнн[е по модулю корни, чем второй, чтобы колебательное решение, соответствующее искомым корням Pi 2 при принятых начальных условиях, бы.то основным.

Коэффициенты разложения (20.28) связаны следующими соотношениями:

Л, = С, + В Л2 = С2 - 2 + BiCi,А = С 2-б2-

Для нахождения величин и со необходимо, очевидно, в формулах (20.29) выразить коэффициенты В, и В2 через коэффициенты первоначального уравнения (20.27). В частности, д.тя характеристического уравнения, третьей степени

р* - Ар + А2Р + Лз = (р + С)(р + Вр +В2) = О

имеем:

Л, = С,-нВ Л2 = В2-нВ,С Лз=С,В2. (20.30)

Чтобы значения и со (20.29) определяли основную часть решения, а третий корень уравнения можно было не учитывать, нужно, чтобы

С,

или л, (20.31)

чем определяется верхний предел для значений , которые следует брать при построении диагра.ммы качества.

Составим предпоследний определитель Гурвица:

Но так как из (20.30) и (20.29) следует, что В2 + С1В,=Л2. С\ =(i -5,)В,=-2С, то получеипое выше выражение можно записать в виде

Л2+(А+202]

Л,Л2

Л2+(Л,+202

(20..32)

Далее, поскольку из (20.30) следует, что

4 Дз

с, л,-д

то из (20.29) получаем формулу для квадрата частоты:

2 =

л,+2

(20.33)

Формулы (20.22) и (20.23) позволяют строить диагра.ммы качества для систем третьего порядка.

Аналогично для системы четвертого порядка получаем

/ + Л,/ + ЛгР + Лзр = (р + Сур С2)(р + Вур +В2), (20.34)

причем

Л, =С,Л2=С2+52 + 110

Л3 =СВ2 + Д1С2; 4 =С2В2.

(20.35)

Здесь требуется, соблюдение того же условия (20.31).

Исходя из выражения нредгюследпего определителя Гурвица, аналогичным путем находим формулу

а затем

2(Л, +20{[Л2 + (Л +2022 -АЛ,+А,А:,} Я ,=Лз(Л,Л2-Лз)- Л?Л,; Л, (Л,+40

(20.36)

2 =

(Л,+20(2+20-А:

>-2

(20.37)

Третий способ. Рассмотрим часто встречающийся частный случай, когда коэффициенты гармонической линеаризации qnq зависят только от амплитуды а и