Поэтому первая гармоника (затухающая или расходяпгаяся) пелипейпой функции F(x, рх) ири X =- а (О sin 4/ (t) вместо (18.6) здесь будет

F(x,рх) = qx + q--.r =! q--q О) V О) j

х + - рх,

(20.12)

f (asiny, aa)cos\/ + a(;sin\/)sin\/uf\/;

q= - jF(asin\j/, a(ocos\/ + a(;sin\/)cos\/uf\/.

(20.13)

Здесь в общем случае коэффициенты гармонической линеари.зации будут .зависеть от трех неизвестных: а, ю и . Если же рассматривается нелинейность F (х), как чаще всего бывает, Toqnq сохраняют прежний вид:

q=-- f(asini/)sin\/ufi/, q = - f(asini/)cos\/ufi/.

(20.14)

и в этом случае можно целиком использовать материал главы 18 в виде готовых выражений q (а) и q(a) для различных конкретных (гелинейностей, учитывая, однако, новую фор.му (20.12) замены нелинейной функции.

В случае нелинейных систем первого класса дифференциальное уравнение колебательного переходного процесса

Q(p)x + R(p)F(x,px) = 0 (20.15)

при наличии свойства фильтра (§ 18.2) после гар.монической линеаризации согласпо (20.12) принимает вид

Q(p)x + R(p)

х = 0.

(20.16)

Колебательный процесс в линейной системе, описываемый решением (20.1), соответствует паре комплексных корней характеристического уравне1Н1яp = C,+j(x)C постоянными значения.ми и со. Аначогично и колебательный процесс в нелинейной системе, описываемый приближенно формулами (20.7) и (20.8), определяется медленно .меня-ющи.мися значеш-тями и со, которые можно находить путем определения нары комплексных корней р = ±j(a характеристического у] чвнепия гармонически линеаризованной системы (20.16).

В соответствии с этим в характеристическое уравнение

Q(p) + R(p)

q+--q

(20.17)

подставим р = С + joi для определения значений и со, удовлетворяющих этому у])авне-нию. В результате получим

Qa + joi) + Ra + joi)(ci + jq) = v. (20.18)

Подстановку значения С, + jco вместо р в любой .многочлен удобно выполнять путем разложения его в ряд но степеням jco, например:

a(C + ; )=Q(0+

/с0 + -

2!

(7С0)Ч...+- n\

d Q dp

(ico) .

(20.19)

где индекс означает, что в выражения производных надо подставить С, вместо р. По такой же формуле разлагается в ряд и многочлен R ( +;со).

При матых значениях (для медленно затухающих процессов) вместо (20.19) удобнее при.менять ра.зложепие по степеням С ограничиваясь его первой степенью, а именпо:

Q(C+ =ao )+

й(С + ;со) = й(;со) +

dQ] dR

(20.20)

где индекс jco означает подстановку jm в.местор в выражения для производных.

В комплекспо.м уравнении (20.18) содержатся три неизвестные: , со и а, причем последняя входит BqHq. Поэтому указанное комплексное уравнение позволяет найти две переменные как функцию третьей:

= (а) и СО = СО (а),

(20.21)

т. е. из.менение показателя затухания и частоты со с из.менением амплитуды а затухающего или 1)асходящегося колебательного процесса в нелинейной системе.

Когда с})ункции (20.21) найдены, можно, пользуясь двумя дифференциальными уравнениями первого порядка (20.8), найти а (t) и Ц1 (t) для первого приближения иско.мого ренюния нелинейного уравнения (20.15) в форме (20.7). Интегралы уравнения (20.8) имеют при заданных начальных условиях (а = М/ = vi/q при t = 0) следующие выражения:

\ da

= t, \/= m{a)dt+\ifQ,

где (я) и со (а) - найденные ранее функции (20.21).

Из первого уравнения (20.22) определяется а (f), а из второго -новки в пего а (t) из первого.

В результате получаем решепие

x = a(t) sin Ц1 (с).

(20.22)

-\/ (О после подста-

(20.23)

Линии C=con.st<0

Область устойчи-; Область востн равновесия j автоколебаний

Рис. 20.2

Операция интегрирования (20.22) во многих случаях для оценки качества переходных процессов в авто.матпческих системах не нужна. В большинстве случаев вполне достаточно бывает ограничиться нахождением функций (20.21) из комплексного ajHe6paH4ecKoro уравнения (20.18), так как качество сим.метрично-го колебательного переходного процесса вполне .может быть охарактеризовано величина.ми , О) и их отношением /со, а также характером их изменения в зависимости от а.мплитуды колебаний и от параметров системы.

Это достигается построением так называемых диаграмм качества затухания симметричных нелинейных колебаний. /.1иагра.м.манарис. 20.2 представляет собой семейство линий = con.st и линий со = const па плоскости с координатами k, а, причем k означает какой-либо из основных подлежащих выбору параметров системы (коэффициентусиления или др.).

Для линейной системы линии = const и со = const в тех же координатах и.мели бы вид вертикальных прямых, так как показатель затухания и частота колебательных переходных процессов в линейной системе не зависят от величины а.мплитуды колебаний а, а меняются .только с измеиецие.м параметров системы (в данном случае k). В нелинейной же систе.ме эти линии искривляются (рис, 20.2) или просто наклоняются в зависимости от формы нелинейности и от общей структуры системы. Это выражает собой изменение показателя затухания С, и частоты со пелипейпых колебательных переходных процессов с из.мененисм величины амплитуды колебаний а.

Значение С ° О соответствует отсутствию затухания, т. е. сохрапепию с течением времени постоянной амплитуды а. Например, точке С (рис. 20.2) соответствуют колебания с постоянной амплитудой (автоколебания). Поэтому линия = О на диаграмме качества (рис. 20,2) представляет собой пе что иное, как зависимость а.мплитуды автоколебаний от параметра системы k, которая определялась в главе 18. По одну сторону от этой линии лежат линии = const > О, а по другую - = const < О, Первые соответствуют расходящимся колебаниям, а вторые - затухающим.

Протеканию переходного процесса во времени соответствует движегню изображающей точки М по вертикали (так как а.мплитуда а в переходпо.м процессе меняется, а коэффициент усиления k сохраняется постоянны.м), как указано на рис, 20.2 пунктиром и стрелка.ми. Например, значению k в точке L соответствует вертикальная пря.мая MqL. Поскольку эта прямая пересекает линии только с отрицательными значения.ми С то колебания в переходпо.м ироцессе будут затухать, т, е. изображающая точка Мбудет двигаться из некоторого начального положения Мд (где задана начальная амплитуда о) вниз. Процесс и,змепения амплитуды во времени показан на рис. 20,.3,а, Изменение частоты со (а) определяется при этом по соответствующей вертикали на нижней части рис, 20,2,