Проиллюстрируем также и второй метод. Согласно второму методу сначала решается уравнение (19.30). По (19.30) и первой из формул (19.28) находи.м

- = .sni-

- = sin

2с 2c{k,+k)k2

или, с учетом (19.31),

- = sin

(19.45)

Для отыскания входящей сюда а.\и1литуды а воспользуемся уравнением (19.29). Характеристическое уравнение для него будет (19.32), и уравпепия (19.11) поэтому нри.мут вид:

Y = {\ + Ък2к.я) (i}-TlW = О, гдесогласно (19.28) и (19.45)

(19.46)

4с . q = -.SHI Tta

2ck2

(19.47)

Исключая из уравнений (19.46) величину q, паходи.м частоту автоколебаний

T,(l2k,-T,KJ

(19.48)

Подставив найденные выражения q и of, в первое из уравнений (19.46), найде.м амплитуду автоколебаний

а = Лcos

где величина

4сВД(Г21-ГАс) я(Г,+72)

(19.49)

(19.,э0)

является амплитудой автоколебаний при отсутствии внешних воздействии (при

/, =о,л=о).

Подставив найденное выражение амплитуды (19.49) в формулу (19.45), получи.м окончательно величину смещения

о А . X =ysni

Как видно, второй метод в данной задаче приводит к тем же самым результатам значительно более коротким путем, чем первый, что очеги, важно для практических расчетов (принципиально же оба метода эквива-тентны друт другу). По-видимому, большая простота второго метода будет иметь место и в большинстве других задач.

В этом втором методе, в отличие от первого, фушсция смещения Ф (х ) не определяется. Однако последняя может понадобиться в дальнейшем для других целей. Но ее тоже легко можно определить при использовании второго метода. Здесь величины х, а и их отнонюние выражены через величины внешних воздействий. Функция же смешения Ф (х ) не должна содержать ни величин внептих воздействий, ни а.мнлитуды а зависящей от них. Подставив значение квадратной скобки из (19.51) в (19.45), получим

х . - = sin а

-arcsin-

(19.52)

2 А

а подставив это в первую из формул (19.28), сразу гюлучим искомую функцию смещения

f<=0(x) = -arcsln-, (19.53)

где А выражается только через параметры системы согласно (19.50).

Важно отметить, что ({пункция смещения Ф (.г ) ие зависит ни от числа внешних во,здействий, пи от характера их из.менения (если они постоянные или медленно меняющиеся), что наиболее наглядно было видно из первого .метода реигепия задачи.

Итак, двумя разными .методами определена величина смещения х автоколебаний па входе реле. Найдем теперь установившуюся ошибку на выxcдe системы х. Поскольку на выходе должно воспроизводиться внешнее во.здействие /[ (t), то согласно рис. 19.5 и второму уравнению (19.20) ошибка даппой системы выражается величиной Xj, установившееся решение для которой, следовательно, и надо искать. Выразив переменную Xl, через X, которая уже известна, из заданных уравнений системы (19.20) и (19.21) получаем

{KJ,p + k,+ k ) X, = (+ 1) X + К, (7> + 1) р/, (0. Учитывая (19.25) и (19.27), перепишем данное уравнение в виде

{KJiP + k,+ К)х, = х + (Г,р + 1) X* + ,7, /, + . (19.54)

В соответствии с видо.м правой части установившееся решение этого линейного уравнения следует искать в виде

х,=х?+с,г + х;, (19.55)

где Xj и с, - ностояпгияе, а Xl - периодическая составляющая.

Подставив это в (19.54), получи.м три уравнения для отыскания указанных вели-

чин:

ik,J,p + k,+k ) х-; =(Г,р + 1)х

Второе из них дает

(19.56) (19.,57)

(19.58) (19.59)

Тогда из (19.56) находи.м

X, =

.0 , hKt:t\ гО

х +

(19.60)

гдех определяется формулой (19.51) через внетние воздействия. Наконец, из уравнения (19.58) получаем амплитуду автоколебаний переменнойх,:

а, =а

(19.61)

где а, определяется формулой (19,49) через внешнее во.здействие, а ш - формулой (19,48).

Итак, в данной системе имеются все три составляющие ошибки (19.55), зависящие от величины впепншх воздействий и от параметров системы. Наиболее нежелательной из них является составляющая с,г, возрастающая пропорционально времени. Поэтому систему необходи,мо видоизменить в первую очередь так, чтобы уничтожить эту составляющую ошибки, т. е. сделать с, = 0. Для этого можно было бы вовсе изъять дополнительную обратную связь (рис, 19.5), так как при = О согласно (19.59) будет c = О, Однако при гэто.м существенно возрастает амплитуда автоколебаний (19.61), т. е. периодическая составляющая ошибки. Поэтому более целесообразной мерой будет замена жесткой обратной связи х = k x: на гибкую х. = kocPi- Тогда в уравнении (19.54) ве-тичина k. заменится на kj>:

( Тф + к,+ k p) X, = х + (7> + 1) X* + /,

(19.62)

Как видим, составляющая, пропорциональная в)емени, в правой части уравнения исчезла, вследствие чего установившееся репюние для ошибких, в отугичие от (19.55), будет-

Xj = Х + X, ,

(19.6,3)