Уравнения автоматической системы (рис. 19.,5) заданы в виде

(V+1)X2 = ,X X, =/,(0-х,; (19.20)

x-i = F(x), х = Х2-х x , = k,; (19,21)

(T2j7+i)px, = k;-f2(t), (19.22)

где F{x) - простейшая симметричная релейная характеристика показанная на рис. 19.5:

F(x) = cs\gnx. (19.23)

Чтобы воспользоваться выведенны.ми выше обпшми формулами,надо сначала привести заданную систему уравнений (19.20) - (19.22) к одному уравнению типа (19.1). В peayjHjTaTe получаем

(Г,р + 1) (Ггр + 1 )рх + (кТуР + к,+ к,) к2F(x) -ki{T2p+\)pfy (О +

+ {KJ,p + k,+k ,)f2{t). (-

Пусть/j(f) является задаюн1им воздействием, из.меняющимся с постоянной скоростью:

/,(0=/, , (19.2,5)

которое требуется воспроизвести иа выходе системы в виде х (г).

Допустим также, что второе внешнее во,здействие/2 (г) является возмуп1аюп1им и имеет постоянную величину (например, постоянная наг1)узка на выходном ва..гу системы):

/2(0 = const =/2 . (19.26)

Его влияние требуется свести к .мипи.муму. Найде.м установившуюся ошибку па выходе системы. Правая часть уравнения (19.24) будет при это.м гюстоянной, и установившееся ренгепие дляхс учетом автоколебаний следует искать в виде

л: = г +.г*, где х* = айп(£>1. (19.27)

Гармоническая линеаризация нелинейности (19.23) при .это.м согласно (19.6) дает

2с . х - н -

f =-arcsin-, q = -A\-- (19.28)

л а ла У \ )

В данной задаче согласно (19.24) уравнение (19.9) для периодических составляющих получит вид

{Т,р + 1) (Т2Р + 1)рх* + ( k ,TiP + к,+ к ) kqx* = О, (19.29)

а уравпение (19.8) для постоянных составляющих будет

(ki+k ,)k2l = Af, (19.30)

где согласно (19.24) --.(19.26)

(19.31)

Выше были указаны два метода pemeiHw задачи. Для иллюстрации обоих методов решим данную .задачу кажды.м из них.

Согласно перво.му .методу сначала решается уравнение (19.29) д-тя определения .зависи.мостей а (х ) и со (.г°).

Ха)актеристическое уравнеиие здесь будет

Г, Тр + {Т, + Т2)р + {\ + T,k.M p + {k,+ k) k,q = О, и уравнения (19.11) поэтому примут вид

У = (1 + Г12<,с?)ш-772ш=0-, Исключая отсюда q, находим частоту автоколебаний

Частота ш в данной задаче оказалась не зависящей от сменсения х , а следовательно, и от величины внешнего во,здействия. Затем, подставляя в первое из уравнений (19.33) выраже1П1е<7 из (19.28) и cof, из (19.34), получаем биквадратное уравнение для отыскания зависи.мости амплитуды автоколебаний а от смещениях :

(19.32)

(19.33)

(19..34)

\ J

= 0,

(19.35)

где величина

(19.36)

представляет собой амплитуду автоколебаний в данной системе при отсутствии смещения (при = 0). Отсюда

Полученное выражение можно записать также в виде

а =Лсо.я-,

(19,.37)

если обозначить

, 2х а = arcsm---, Л

(19.39)

Результат (19.37) или (19.38) и представляет собой искомую зависимость а (х*).

Далее, согласно нерво.му методу решения за,1ачи, подставим полученное значение амплитуды а из (19.38) в выражение (19,28) для 7, откуда с использованием (19.39) найдем фупкпию смепюпия

10 Оч с с , 2х

F =Ф(х ) =-а =-arcsm-

п п А

0< х

A < - 2

(19.40)

где Л определяется через параметры системы формулой (19.36).

Подставив величину (19.40) в уравпение (19.30) для постоянных составляющих, с учетом (19.31) и (19.36) получим

о л . X =-sm 2

Ck2[ki

(19.41)

Сравнивая это с формулой (19.39), видим, что для искусственно введепно!! ранее величины а можно записать следующее выражение:

а = -

(19.42)

Эта величина характеризует совокупность нрнложс1шых к системе внептих воздействий. Учитывая это, из формулы (19.38) находи.м а.мплитуду автоколебаний

а = Л cos

2ck2

+72

(19.43)

Существенно то, что амплитуда автоколебаний зависит не только от параметров системы (см. (19.36)), но еще и от величины внешних воздействий. Эта зависи.мость нелинейная. В данном случае при увеличении впепин1х воздействий амплитуда уменьшается 1ю закону косинуса, в то время как частота не зависит от впепптх воздействий.

Из формулы (19.43) видно, что автоколебания существуют до тех пор, пока величины внешних воздействий удовлетворяют условию

0<

(19.44)

При этом а.мнлитуда автоколебаний из.меняется в пределах Л > а > 0. Таков первый метод определения устаиовивишхся величии смешениях , амплитуды а и частоты ш автоколебаний при наличии внешних .воздействий.