Подставив выражение (18.181) в уравнение системы (18.172) с учетом свойства фильтра, получим уравнение для определе1тя уточиеггиой ((ервой гармошисих, в виде

Q(P) + R(P)

С] + Аа q + Aq + ---р

Характеристическое уравнение представим в форме

. f/(a co,) g(ai,(Oi)+ \

= 0,

где введено обозначение

QiiP) = Q(p) + RiP)\ +

(18.185)

(18.186)

(за.мена ю, на ю в малых добавках не играет существенной роли). Введение такого обозначения удобно но двум причинам. Во-первых, от.деляются искомые а, и Wj, вхо-дян1ие в и q, от известных величин AqnAq, которые вычисляются .здесь предварительно по фор.мулам (18.183) через найденные выше значения 5 ф;. и через а и ю, известные из первого нриближеиия (§§ 18.1-18.4). Во-вторых, уравпе1П1е(18.185)для определения уточисниой первой lapMoiniKHx, = а, .sin coji приведегго к виду, формально совпадающему с уравнением (18.33), которое определяет первое приближение. Это позволяет использовать при определении уточненной первой гар.моники совершенно те же способы, что и в § 18.2 для первого приближения. Кроме того, согласно (18,182) здесь можно использовать все нрежшк: готовые выражения ко:-)ф(]1иниентов гар.монической линеаризации qv\ q дтя конкретно .заданных нелинейностей с заменой только я, юная ),.

Итак, полностью найдено искомое уточненное решетке для автоколебаний (18.175) в виде

X = я, sinco,f -ь 25,я, 5т(кщ[ + ф/,).

Следует помнить, что, используя любой из способов § 18.2 применительно к данной задаче, надо везде вместо Q(/?) ставить новый М1К)Гочлен Q, (р), отличающийся от Q (р) некоторыми добавками к его коэффициентам и о((ределяемый по формуле (18.186).

Важп;щ особенность уточненного решения состоит еще и в том, что мпо1-очлен Q, (р), в отличие от прежнего Q (р), зависит не только от пара.метров линейной части системы, но, согласно (18.186) и (18.183), также и от формы нелинейности F(x,px) ,за счет и Д. Однако в то время как основные коэффициенты q и q имеют готовые выражения для каждой пелипейшкти (см. § 18.1), здесь нельзя при.менять заранее вычисле1И1ые конкретные формулы для величин Aq и Aq, так как входящие в формулы (18.183) величины 5, и ф/ согласгго (18.179), зависят от (гараметров и структуры

линейной части системы. Однако можно заранее вычислить для различных конкретных форм нелинейностей всиомогательиые величины г.и5.

О том, какой состав высших гармоник (18.175) в каждой кошсретиой задаче следует учесть, можно судить но разложению заданной нелинейной функ1ннт F(x,px) в ряд Фурье. Так, нанри.мер, в часто встречающемся на практике случае однозначной нечетно-симметричной нелинейности F (х) наиболее сунюствеиной из высших гармотн< будет третья. Учитывая ее, представляем искомое периодическое ретнеиие (автоколебания), согласно (18.175), в виде

х-х +х, X] =a]SiiKO]/, x.j = 5;jrt, .sin(3(o,t + ф;5 ).

(18.187)

В этом случае в уравнении для первой гармоники (18.185), как и прежде, будет равен нулю коэффициент q и характеристическое уравиепие будет

Ql (py+R(p)ci = 0,

(18.188)

Aq + --р (о )

Qi(P) = Q(p) + li(p) причем выражение коэффициента

q =--) F(a, .sin \i) sin i/

na

(18.189)

остается прежним (§ 18.1) с за.меной a пая,. Формулы для добавочных коэффициен-тов.А и Ас/ здесь значительно упрощаются, так как в формулах (18.183) и (18.184) многие члены пропадают, а коэффициент Sf, 0. В результате приходим к весьма простым соотношснням:

Aq = Азз cos фз, Aq = Згзбз sin фз, где введено новое сокращенноеобозначе1И1е /23, причем

=- -/(asin\j/)sin3vj/sini/fl!r,

(18.190)

Го =-

па i

/ ( sin\;)sin3v)/ dx.

( 18.191)

Из формул (18.179) определяются относительная амплитуда и фаза третьей гармоники:

83 = з

7?(;3(о)

Q(;3w)

-тгозсо)

Таким образом, достаточно просто определяется уточненное периодическое решение для случая однозначной нелинейности F (.г) с учетом третьей гармоники в виде

х = щ [sinw,f-5зsin(3(o,г;-ф;,)J. (18.193)

Проведем вычисление коэффициентов/гзИГзПоформула.м( 18.191) для релейных характеристик, где оно представляет некоторые особенности.

Рассмотрим релейную характеристику с зоной нечувствительности (рис. 18.37, а). Входян1ая под интеграл в формуле для величина производной /F/dx будет для этой нелинейности равна нулю везде, кро.ме двух точек х == ±Ь, где она равна .мгновенному импульсу, плошадь которого равна с (рис. 18.37, б), т. е. величине с, умноженной на дельта-функцию. Выражение sin \\i <Л; при х = а sin \/ можно преобразовать к виду

, siny , siny , tgy , sm-i d\if=r-dx=--dx = --dx. (18 194)

Поскольку подынтегральное выражение в фор.муле (18.191) для h- на участке интегрирования (О, л/2) согласно рис.18.37, д будет 1[улем везде, кроме одной точки \;= Vi, то эту формулу в данном примере .можно переписать в виде

dF , 4

/гз =-sin3v,tgv, - =-sin3\j/itgy,[f(a)-f(0)].

dx па

Но из рис. 18.37, в имеем

b b . ЗЬа-АЬ

sin4/1=-, tg\/, =-р==, sm3\);i=--3-, (18.195)

V-ft а-

аизрис. 18.37, а при а > b

F{a) = c, 7 (0) = 0,

Окончательно получаем

, 4сЬ\За-АЬ)

3=-, / , / приай. (18.196)

Лй Va -ft