X, = а, sin со,г

Н(.линей)И)е Г) йен о

Линейная чисть

Рис. 18,36

обозначает утошгенную по сравнеиию с (18.173) первую гар.мо-нику автоколебаний.

Поскольку амплитуды выснтх i-ар.моник .малы, то их вычисление можно производить, используя первое приближение периодического решения (18.173), так как использование уточненного решения (18.175) внесло бы в определение 5,(3 несущественные малые высшего порядка, ио зато привело бы к неразрешимой системе уравнений.

Это чрезвычайно важное (для вычисления высших гармоник автоколебаний) до-пушение можно иначе сформулировать следующим образом. Считая, что на входе ,r нелинейного звена (рис. 18.36) истинное периодическое решение (18.175) (при п<) мало отличается от синусоидального (18.173), будем для определения высших гармоник, порождаемых нелинейностью (т. е. па выходе нелинейного звена, где они не малые), подавать иа вход нелинейного звенасинуссшду (18.173).

Тогда каждая из высших i-армоник на выходе нелинейного звена г/ = F {х, рх) в комплексной форме .запишется в виде

.%-а/Р*=й(г,+>-) {к = 2Л...),

(18.176)

где а, и - иско.мые амплитуда и фаза вышией гар.моники г/ па выходе нслипеГпюго звена, а - а.мплитуда входной синусоиды.

11ри этом величины и Sj определяются коэ(]1фицнептами ряда Фурье, деленными па а, т. е.

F(as\n\\i, rtcocos\;)sin\; /\;.

f(asin\;, acocos\;)cos\;<i\;.

(18.177)

Следовательно,

(18.178)

Затем эти немалые высшие гармоники с выхода нелинейного звена проходят через линейную часть (рис. 18.36) с нередаточно11 с)ункцией

IV.,(,;) =

QiP)

становясь малыми за счет наличия свойства с})ильтра.

Учитывая перемену знака воздействия в замкнутой системе, получаем малые высшие гармоники для переменной х в виде (18.174), где

8ла =

Rijkoi)

QiJkiM)

.=P* + arg

-R(jkoi)

Окончательно находим:

Rijkoi)

Ф=аг8 ;+arctg

(18.179)

или, в комплексной форме.

(18.180)

Итак, по формулам (18.179) легко определяются относительная амплитуда и фаза каждой из высших гармоник (18.174) периодического решения (автоколебаний) для переменной х(18.175). Они вычисляются по известным амплитуде а и частоте со первого приближения (18.173), определению которого были посвяпюны предыдунше параграфы данной главы.

Теперь произведем уточнение амплитуды а и частоты ю первой гармоники за счет учета уже найденных выспшх гармоник. Уточненные значения а и со обозначаются через а, и со,.

Имея в видуформу решения (18.175), гдех, - первая гармо1П1ка, разложим нелинейную функцию F{x,px) в ряд Тейлора;

7 (х, рх) = f (х, ,px,)+-F(x рх, )Y Хк +-F(xi, рх, )2] рх/, +...

дх Ь2

Ограничимся написашгыми членами разложения ввиду малости высших гармо-

ник Х*-

Применяя далее разложение в ряд Фурье, по аналогии с § 18.1 получим

F(x,px)=

q + Aq q + Aq + --р

Xl + высшие гармоники,

(18.181)

q =- f (а, sin\;,a,a), cos\;)sin\;

q-- f(a, .sin\;,aiCO, cos\;)cos\;</\;

(18.182)

и новые добавки к ни.м, вычисляемые, в отличие от этих основных, через первое приближение (18.173);

1 2л

па i

--F(x px,)2Xi +--F(x px,)2 рх -Fix pXi)Y,Xk+--f(.v px,)2 pxk

дх 2 Р Ы2

sin Ц! d\\i, cos\\i d\\i.

Они и дают уточнение первой гармоники х, за счет учета высших гармоник иско.мого периодического решения. Формулы для и А с учето м (18.174) можно преоб-ра.зовать к следующей, удобной для вычислений, форме;

(l = Y.(hA С05ф-Ь428451пф4),

к=2 я

(18.183)

2я J 2л

h\=- fVi(V)sin\;</v, h2=- [©i(V)sinvi/</\i;,

hi =- JVi(vi/)co.s\;</\i;, 4 =- \@{sf)cQsзfd,

(18.184)

причем

a(V) =-f (asin\;. йю cos\;) sin\; + (asin, яю cosi/) feocos\;; Эх Эрх

в1(ш) = -/(asini/, acoco.s\;) соз\Л--f ( sin\;, со co.s\;) cosin.

Эх . Эрх

где имеем аналогичные прежним формулам первого приближения (18.7) основные коэффициенты (причем \\i = ш,/)