f(-fla).sini/, aa)cosi/)ufi/ = 0.

Если же 4)ункция F{px, рх) или функция F{px) будет единственной нелинейной фу1П<цией в уравнении нелинейногозвена, то при гармонической линеаризации можно положить рх = а .sin Ш и

F{px, рх) = q(a,(x))px + рх + высшие гармоники

аналогично прежним ({юрмулам (18.6 и 18.7). Но при этом величина а во всех выкладках будет амплитудой колебаний скорости рх, а не самой координаты х. Последняя же будет иметь амплитуду а = а/ш.

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации по формулам (18.10) надо иметь в виду, что П[)и симметричных нелинейных характеристиках интег-ра.,т (О, 2п) можно получить удвоением интеграла (О, п), т. е.

2л 71

(18.12)

а для сим.метричных относительно начала координат безгистере.зисных характеристик F(x) при вычислении q (а) можно писать

(18.13)

Приведем выражения для коэффициентов некоторых простейших нелинейных звеньев. Затем их можно будет пеиосредствеино использовать при решении различных конкретных задач.

Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев. Найдем коэффициенты q (а) и q (а) уравнений наиболее типичных релейных звеньев по формулам (18.10). Возьме.м общий вид характеристики релейного звенахз = F(x), изображаемой rpacJ)HKOM рис. 18.1, а, где те есть любое дробное число в интервале -1 < ш < 1. Как частные случаи будут получены уравнения других типов [)елейных звеньев.

Если колебания входной величины == а sin Ш и.меют амплитуду а<Ь, то согласно рис. 18.1, а движения в системе не будет. Ecjnr амплитуда а>Ь, то переключения реле происходят в точках А, В, С, D (рис. 18.1, б), в которых имее.м

= arcsin-, ii/n = л-arcsin-. (18.14)

Следовательно, после использования свойств (18.12) каждый из интегралов (18.10) разбивается натри слагаемых:

О О Vl <V2

при условии

-Jf,

Рис. 18.1

причем первое и третье из них согласно рис. 18.1, а и Сбудут нулями. Поэто.му выражения (18.10) принимают вид

2 7 2

q{a) = - (;sin\f(iw, д{а)=-- ccos\W(i\u, па па

V2 V;

откуда

2с, . 2с

= -(COSl/ -C0Sl/2 ) =-

па па

2с 2с

q---(sinvi/, -sin\iJ2) =--y(l-m) приа>6,

л па

(18.15)

а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис. 18.1, а будет иметь вид (18.9) с полученными .здесь значениями q (а) и с/ (а). Рассмотри.м частные случаи.

Для релейного звена с характсристикойбез гистерезисной петли, по с зоной нечувствительности h ([)ис. 18.1, г), полагая от = 1, из вышенаписаппых формул получаем

4с 4с , , ,

=-cosi/, =- 1--, q =0 приа>Ь. па па\ а

(18.16)

Для релейной характеристики с гистерезисной петлей типа рис. 18.1, д, полагая от = -1, и.мее.м

4с 4с I

q = -cosi/, =-Jl-, па па V а

, Ас . Ach ,

q=----51011/,=--- npna>D.

па Tia

\;2 \;2 Л-\2

откуда с за.меной с = (b-- Ь)к ни, = а sin м h.2 = asmu2 получаем

2kf 1 1

q = - -v/,+-sin2v/2--sin2v/, приа>Ь2, (18.20)

я I 2 2 1

Наконец, для идеального релейного звеиа (рис. 18.1, е), полагая Ь = О, находим

? = Я = 0- (18.18)

На последнем примере легко видеть смысл гармонической линеаризации релейной характеристики. Наиисаппое выражение для q означает замену ломаной характеристики ABCD п[)ямолинейпой МЛ(рис. 18.1, е) с; таким наклоном, чтобы эта прямая MN приблизительно заменяла собой тот участок ло.маной ABCD, который охватывается .заданной амплитудой а. Отсюда становится вполне понятной обратно пропорциональная зависимость q от а, даваемая формулой (18.18), так как чем больще амплитуда а колебаний входной величины х, тем более пологой должна быть пря.мая MN, приблизительно заменяющая ломаную Л BCD.

Аналогично обстоит дело и с релейной характеристикой па рис. 18.1, г, для которой наклон заменяющей ее прямой дается формулой (18.16). Следовательно, всякое без-гистерезисное релейноезве1ю в колебательном процессеэквнва.лептно такому липейно.му звену, передаточное число (ко.эффициент усиления) которого q (а) у.мепьшает-ся с увеличением амплитуды колебаний входной величины, начиная с а = Ьу[2.

Что касается релейного звена с гистерезисиой петлей, то согласно (18.9) и (18.17) оно заменяется линейным звеном с аналогичным прежнему ко.эффициентом усиления q (а), по кроме того, enie с введением отрицательной производной в правой части уравнения. Введение отрицате.чьной производной в противовес положительной вносит отставание по фазе в реакции звена iva входное воздействие. Это служит линейным эквивалентом , замепяюпим -эффект действия пстипейности в виде гистерезисной петли. При этом коэффициент q (а) при производной согласно (18.17) тоже уменьшается с увеличением амплитуды а колебаний входной величины .г что и понятно, так как эффект влияния гистерезисной петли на процесс колебаний в релейном звене должен быть те.м .меньше, чем больше а.мплитуда колебаний по сравнению с шириной гистерезисной нетли.

Коэффициенты гармонической линеаризации других простейших нелинейных звеньев. Рассмотрим нелинейпоезвено с зоной нечувствительности и с насыщением (рис. 18.2, а). Согласно рис. 18.2, б, где

. Ь, .by . c + b.k

v/, =arcsin-, v/2 =arcsm- = arcsin-, (18.19)

a a ak

интеграл (18.10) на участке (О, я) разбивается на пять слагаемых, причем два из них равны нулю. Поэтому

2 2 2 2

q = - (asinv/-fci)sin\j/(iv/+- csin v/+-- i(asin\/-6i)sin\j/(iv/.