рпзации или методу гармонического баланса И. М. КрыловаиН. П. Бого;иобс)ва, а но результатам - также и к методу малого параметра Б. В. Булгакова.

Рассматриваемый метод является моппгым средством исследования иелипеЙ1п>1х автоматических систем в смысле простоты и довольно большой у нивсрсачьпости его аппарата в применении к самым разнообразным пелинейпостям. Однако надо иметь в виду, что он pcHiacT задачу приближенно. Имеются определенные ограничения его применимости, о которых будет сказано ниже. Эти ограничения обычно хороню соблюдаются в задачах теории автоматического управления. Практические расчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для М1К)гих видов пелинейных систем.

Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида

y = F{x,px)

(18.1)

и задано

x = a.sniv;, v; = (of (18.2)

Тогда

рх= aa)cosi/. (18,3)

Ра.зложив функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье получим

1 2

у = - fF(asinv;, aa)cosi/)uf\u-2л i

ы

F(asini/, aa)cosi/)sim/ df

sini/-)-

- [ F(a si П1/, aa)cos\j)cosv/ c/v/

cosv/ +высшие гармоники.

(18.4)

Положи.м

F(asim/, aa)cosv;)(/i/= 0,

(18.5)

что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении.

В настоящей главе будет везде предполагаться выполнение условия отсутствия постоянной составляющей (18.5). Впоследствии (глава 19) будет дан .метод исследования автоколебаний при наличии постоянной составляющей.

Если принять во внимание, что из (18,2) и (18.3)

X рх

sinv; = - и cosi/=--, а аш

то формулу (18.4) при условии (18.5) .можно будет записать в виде

, а(а,ш)

у = д{а,щх + --рх +высшие гармоники.

q = - f(asini/, acoco.s\(/)sim/

in

f(asinv/, a(ticosv/)cosv/(iv/.

(18.7)

Итак, (гелинейное выражение (18.1) ири.r = a sin со?заменяется выражением (18.6), которое с точностью до высших гарм01гик аналогично линейному. Эта операция и называется гармонической линеаризацией. Коэффициенты q(a, ш) и q, ш) постоянны при ностоянных значениях а и со, т. е. в случае периодического процесса. В переходном колебательном процессе с и;!меиением а и о) коэффициенты q я q изменяются (см. гл. 20). Для разных а.мнлитул и частот периодических процессов коэффициенты выражения (18.6) будут различны ио величине. Это очень важное для дальнейнюго обстоятельство является сушественным отличие.м гармонической линеаризации но сравнению с обычным способом линеаризации (§ 3.1), приводящим к чисто липеЙ1П>1М выражепия.м, которые применялись в предыдущих ра.зделах книги. Указанное обстоятельство и позволит путем примеггепия к выражению (18.6) линейных методов исследования проаиачизировать основные свойства иелииейных систем, которые не .могут быть обнаружены ири обычной линеаризации.

Приведем также с})ормулы гар.монической линеаризации для более простой пелипейиости:

y = F(x). (18.8)

Здесь воз.можны два napnairra; 1) кривая F(x) имеет гистерезисную нст.тю (нанри-мер, рис. 16.18, о, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая F (х) не имеет гистерезисной петли (рис. 16.8, б, рис. 16.22, а и др.).

При натичии гистерезисной петли, когда фактически наблюдается .зависимость о г знака производной, нелинейная функция г/ = F(x) после гар.чюннческой линеари;!ации заменяется следующим выражением (нрих = а sin Ш):

\(а).аМр

.гч-выснше гармоники.

(18.9)

f ((3sim/)sim/q=- f ((3sim/)cosi/

при условии отсутствия постоянной составляющей:

F(asm\\i)d\\i = 0.

гдеи с/ - коэффициенты гар.мо1И1ческой линеаризации, определяемые формулами:

Если же кривая F(x) ие имеет гистерезисной петли, то q = О, так как прих = а sin 1/ будет

, 1

<? = - па

1 г

f((3sinvi;)cosvi;ufvi; = -5- F(x)dx = 0 па- X

(при гистерезисггой петле этот интеграл пе был нулем вследствие различия в очертании кривой F(x) нри возрастании и убывании х).

Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли нелинейное выражпю (18.8) заменяется более простым:

y = q (а) X + высшие гармоники,

т. с. криволинейная или ломаная характеристика у = F (х) с точ1гостью до выспгих гармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой (7 зависит от амплитуды колебаний а. Другими словами, нели1гейное звено уподобляется липеЙ1Го,му с передаточным числом (коэффициентом передачи), зависящим от амплитуды а колебаний входной величины X,

Гистерезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, еще производную, дающую отставание по фазе, так как q (а) < О, Таким образом, нелпнейпое отставание по координате в виде гистерезисной петли превращается при гар.монпческой линеаризации в эквивалентное линейное отставание по фа.зс.

Можно со.здать специальное пе.типейпое звено с опережающей петлей, что будет эквива.,чеитно линейному опережению фазы при введении производной, но с тем отличием, что величина опережения фазы будет зависеть от амплитуды колебаний, чего нет в линейных систе.мах.

В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включающим сумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членов подвергается гар.монической линеаризации по отдельности. Произведение же нелинейностей рассматривается обязательно в целом как одна сложная иелинейпость. При это.м могут встретиться иного характера нелинейные функпии.

Например, при гар.монической линеари.зации второго из уравнений (16.3) придется и.меть дело с функцией F(px, рх) при х = а sin Ш. В этом случае получаем

Fipx, рх) =

х + выспше гар.моники.

2 =- \р{-аиг\~,m\if, aa)cosv;)sinv;</v;, q\-- ff(-aa)2sin\j/, aa)cos\j/)cosi/