Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

§ 4.4. Логарифмические частотные характеристики

Логарифмические частотные характеристики ( л. ч. х.) включают в себя построенные отдельно на одной плоскости логариф1\тческую амплитудную характсристи-ку (л. а. x.) и логарифмическую фазовую характеристику (л. ф. х.). Для построения л. а. x. находится величина

/.(со) = 20 Ig \W(ju)) I = 20 Ig Л(со). (4.18)

Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую едипипу, соответствуюп1ую десяттисратпо.му увс;и-1чеиию мощности. Один Бел соответствует увеличе1И1ю мопиюсти в 10 раз, 2 Бела - в 100 раз, 3 Бела - в 1000 раз и т. д.

Децибел равен одной десятой части Бела. Если бы Л(ш) было отпопюпие.м мощностей, то перед логарифмо.м в правой части (4.19) должен был бы стоять .чнюжи-тель 10. Так как Л(со) представляет собой отпопюыие не .мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т. п.), то увеличение этого 0ТИ0П1С1П1Я в десять раз будет соответствовать у пел ичеи ню отиопюния мощностей в сто раз, что соответствует двум Белам Т1лп двадцати децибела.м. Поэтому в правой части (4.19) стоит Пloжитeль 20.

Необходимость логари()мировать модуль частотной передаточной функции (4.18) приводит к тому, что, строго говоря, л. а. х. может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную ве-




58 Непрерывные линейные системы автоматического управления

личину. Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай.

Однако л. а. х. может условно строиться и для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо раз.мерпость. В этом случае некоторая исход[1ая величина, соответствуюп1ая размерности передаточной функции, принимается за единицу (например, 1 с , 1 рад и т. п.) и иод значением A((£i) понимается отношение модуля частотной передаточной функции к этой исходной единице.

Это же замечание относится и к угловой частоте со, которая имеет размерность (с ] и которую приходится логарИ(})мировать в соответствии с и.зложениым.

Для построения л. а. х. и л. ф. х. используется стандартная сетка (рис. 4.8). По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарИ(})мическом масштабе, т. е. наносятся от.метки, соответствующие Ig ш, а около отметок пишется само значение частоты со в рад/с. Для этой цели может использоваться какая-либо 1пкала счетной логарифмической линейки. При ее отсутствии ра.зметка производится с учетом того, что на логарифмической шкале расстояние между двумя отметками со = со, и со = (Oj > со,

/ = /Л18 2 -lgw,) = /Jgco2/co (4.19)

где / - же.паемая длина одной декады.

Например, если принять, что = 60 .мм и сй, = 10 с , то (рис. 4.9) отметка(й2 = 20 с окажется на расстоянии 60 lg2 = 18 .м.м, от.метка со2 = 30 с на расстоянии 60 Ig 3 = 29 мм и т. д.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дБ). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку О дБ, что соответствует значению модуля Л (со) = 1, так как логарифм единицы равен пулю.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольно.м месте. Следует учесть, что точка сй = О лежит на оси частот слева в бесконечности, так как Ig О = -оо. По.этому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х. Как будет показано ниже, для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты л. а. х.

Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот). По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейно.м масштабе. Для практических расчетов, как это будет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна -180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается но оси ординат вверх, а положительный - вниз.

1 лек

1 дек I -,-----+-

т-1-I-г -1-1-г

4 6 8 10 20 30 40 60 80 100 200

I I I I I I

I I I I I I

I I I Г I

о 1 2 .3 4 5 6 Рис. 4.9



Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л. а. х. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. х., представляющей собой совокупность отрезков прям)1х линий с наклонами, кратными величине 20 дБ/дек. Это будет пока.заио ниже при рассмотрении конкретных звеньев.

Для иллюстрации простоты построения л. а. х. рассмотрим несколько важных примеров.

1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоящюму числу = Aq; тогда

1(ш) = 20 lg((o) = 20lg/to.

Л. а. x. представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 па рис. 4.8).

2. Рассмотрим случай, когда Л(а)) = Тогда

1((0) = 20 lgyfe,/M = 20 Ig Л, - 20 Ig ш.

Нетрудно видеть, что .это - прямая линия, проходящая через точку с координатами ш = 1 с и L{(£i) = 20 Ig, и имеюп1ая отрицательный наклон -20 дБ/дек так как каждое удесятерение частоты вызовет увеличите IgM иа одну единицу, т. е. уменынс-ние 1(0)) на 20 дБ (прямая 2 на рис. 4.8).

Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти, положив 1(0)) = О или, соответственно, Л((о) = 1. Отсюда получаем так называемую частоту среза л. а. х., равную в данном случае .р = А,. Очевидно, что раз.мерность коэффициента к, должна быть [с ].

3. Аналогичным обра;юм .можно показать, что в случае А{(й) = л. а. х. представляет собой прямую с отрицательным наклоном -40 дБ/дек (прямая J иа рис. 4.10). Вообще для /1(a)) = kjii л. а. х. представляет собой прямую с отрицательп)1.м наклоном -п 20 дБ/дек. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке ш = 1 с и 1(a)) = 20 \%к или по частоте среза .р = Очевидно, что размерность коэффициента А должна быть [с ].

4. Рассмотрим случай, когда /1(a)) = кт. Тогда

1(ш) = 20 IgV = 20 Ig/tg -ь 20 IgM.

Нетрудно видеть, что это - прямая линия, проходяндая через точку ш = 1 с и 1(a)) = 20 IgAg и имеющая положительный наклон 20 дБ/дек. Эта прямая может быть построена также по частоте среза .р = 1Дз, полученной приравниванием Л(а)) = 1 (прямая 4 на рис. 4.8).

Аналогичным обра:юм можно показать, что в случае, когда Л(а)) = kisT, л. а. х. представляет собой прямую линию с положительным наклоном т 20 дБ/дек. Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке

1 с* и 1(a)) = 20 lg или ио частоте среза а)(.р



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [ 17 ] 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248