Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 [ 168 ] 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248


где согласно (17.25), (17.26) и (17.28) и.меем

Аг = Г] sign(i/ - г,) при у < k2X,

Аг = г, sign(,z/ + z,) при у>к2Х\

(17.28)

(17.29)

следовательно, первое и,з этих условий имеет место ниже прямой ВВ,(рис. 17.4), а второе - выше нее. В первом слуте переключение реле происходит при у -г т. е. па прямой CD (рис. 17.4), а во втором случае - при у = -fj, т. е. па прямой £7*. Чертеж сделан в предположении, что ,21 i- результате получаем, что вьппе линии EFCD будет

Дг=г (17,.30)

а ниже линии EFCD

Ar = -r,. (17.31)

Рассмотрим сначала верхнюю область. Для нее, деля (17.28) па (17.27), с учетом (17.30) получим уравтгение фазовых траекторий

с1у 7 i у ~ кх dx Т2 x + k,t\

которое можно представить в виде

dy Т; у + 21 -k2{x + кг,) dx Т2 х + кг,

и проинтегрировать, применив вспомогательную подстановку

t/ + A,Vi=z(x+iri),

(17.32)



где 2 - новая пере.менная вместо у.

В результате найдем следуютее уравнение фазовых траекторий (при 7 , > Т.):

y-ax + + C{x + krУ (у> 1), (17.33)

где С] - произвольная постоянная,

(при Y = 1 решение будет и.меть другой вид, а при у < 1 будет а < О и (3 < 0; эти решения не будут исследоваться).

Чтобы представить себе всю совокупность фазовых траекторий, можно провести на фазовой плоскости прямую

=аг + 3 (17.35)

и ко всем ординатам этой прямой добавлять

У2 = С,(х + к,г,)у, (17..36)

придавая С, произвольные значения (каждому значению С, будет соответствовать определенная фазовая траектория). Это будут параболы степени у с осью

x=-kr (17.37)

и с единым пача.юм в точке Я (рис. 17.4), имеющей координаты

Ж=-,Г1, у-ккГу

На рис. 17.4 показаны все ветви этих парабол, лежащие выше линии EFCD (так как только там справедливы данные выкладки). Направления стрелок па полученных фазовых траекториях определяются тем, что проекция скорости изображаюп1ей точки dx

Чг справа от прямой (17.37) согласно (17.27) будет отрицательна, а слева -

положительна; проекция же -- согласно (17.28) вьпне прямой г/ = будет отрицательна, а ниже - положительна (во всех точках прямой у = j- касательные к фазовым траектория.м горизонтальны).

Аналогично строятся и все фазовые траектории ниже линии EFCD, так как их Дифференциа.льное уравнение отличается от (17.32) только за.меной на -г, согласно (17.31).

Б результате на рис. 17.4 видим, что все фазовые траектории, исходящие из особого отрезка FOC, расходятся, а все траектории, идущие от краев чертежа, сходятся. Как те, так и другие асимптотически приближаются к установивпюмуся предельному циклу, обозначенному на чертеже жирной замкнутой кривой (чичевицеобразной). Это соответствует тому, что установивишйся процесс в системе является автоколебательным, причем размеры предельного цикла а,; и й; иредставляют собой амплитуды автоколебаний соответственно напряжения At/и тока в обмотке магнита реле A/j-



Опрслелить фазовую траекторию, образуюн1ую .зтот преде;1ьнын цикл, можно как такую кривую (17.33), у которой

(17.38)

чем определяется значение произвольной постоянной С,. Зпачепиех(17.38) для этой

кривой и дает иско.мую амплитуду а. Амплитуда же а, определяется как ордината

пересечения кривой предельного цикла с прямой г/ = 2 (ибо, как было показано ранее, в точках .этой прямой касательные к фазовым траекториям ropnaoHTaJHjHbi).

Из чертежа (рис. 17,4) видно, что предельный цикл лежит левее точки Л и охватывает точку С. Поэтому Xq < йи < х т. е, амплитуда автоколебаний напряжения заключена в интервале

где а и Р определяются формулами (17.34); амплитуда же а будет немного больше г,.

Пример 5. Рассмотрим следящую систему с сухим трением в управляемом объекте, для которой уравнения были написаны в § 16.3. Уравнение обьекта (16.52) как нелинейного звена при отсутствии лиггейгюго трения (Сз = 0) имеет вид

ypP-rcsign 7)P = c,i при рО или рР = 0 иг >-, Р-const при рР = 0 ui\<-.

(17.39)

При написании уравнения линейной части системы (16.53) пренебрежем постояи-пыми врсмегп! (чтобы иметь возможность рассматривать уравпспие всей системы как уравнение второго порядка), а именно:

/, = -(оР+Л)р. Подставив это в уравнения объекта (17.39) и обозначив

-1 i

получим уравнение всей следящей системы в целом:

(р-1-fliP-I- з) Р =-1 sign рР при pPtO пли при рР = 0 иР>

Р = const прн ;)3 = 0 и!Р]<

(17.40)

(17.41) (17.42)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 [ 168 ] 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248