Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Повышение запаса устойчивости На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая но фазе относительно входной ве;щчииы на угол Таким образом, для выходной величиШ)! можнозанисать Х2 = cos((or + \J/). Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций; Х2 = 2 l = X{ + X{: (4.10) В линейной систе.ме на основании принципа суперпозиции .можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих х, и х2 . Кроме того, можно легко показать, что достаточно рассмотреть прохождение только составляющей х которая в выходной величине дает составляющую хз. Соотношение между составляющими х, и х2 получается таким же, как между х, и х2. Поэтому в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью cos м = е . Тогда 2 = 2М<- (4.11) Символичность этой сокращенной записи заключается в отбрасывании составляющих с множителем е *. Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в виде 2 dX2 dx2 + 7,--f- + x2=,x,+2 Из выражений (4.11) определи.м производные: = ;соХ dx2 ~dt 2М>- jx2 dt = (;ш)2х2л,е> *>. Подставив значения входной и выходной величин и их производных в дифференциальное уравнение, получим: Гх2л,е>( > +r,j(0x2,e > +х2л,е( > =/Х е> +k2Jb,X,e. После сокращения на общий множитель е * найдем: +к2](Л i + TJ(o + T(j(i)y - = W(;co) . (4.12) Иногда употребляют символическую запись sin ш = е. Это выражение называется частотной передаточгюй функцией звена. Таким образом, частотная передаточная функция W(/co) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отиопгепию амплитуды выходной величины к амилит\де входной, а аргу.меит - сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной: пю(1Щ;а))= Щ;а))= argW(j(u) = \\i. (4.13) В более общей формулировке для входного сигнала ;иобого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений (частотных и.зображений) выходной и входной величин: что непосредственно вытекает из формлы (4.1) при переходе от изображения по Лапласу к изображению Фурье; следовательно, частотная пе1)едаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкойр =]ш. Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т. е. имеет место интегральное преобразование W{ja) = J w(t )e~ 4t. (4.15) Частотная передаточная функция может быть представ;гепа в следуюп1ем виде: \VOm) = /1(со)е= f/(m) +7У(со), (4.16) где Л(со) - модуль частотной передаточной функции, \(/(со) - apiyMCHT, (со) и V((o) --веществеппая и мнимая составляющие частотной передаточной фупкци1Г Модуль частотной передаточной функции находится как отношение Mtviy.ieii числителя и знаменателя. Для рассмотренного выше выражения (4.12) (i-rjV) +7;V Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разност аргу.ментов числителя и знаменателя. Для (4.12) имее.м: \/(m) = arctg---arctg . Для нахождения веп1ествепной и мнимой частей частотной передаточной фу1и<;-ции необходимо освободиться от .мнимости в знаменателе путем умножения чиечн- 56 Непрерывные линейные системы автоматического управпения теля и впамспателя па комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести ра,зделение на венюствепную и мнимую части. Для (4.12) (i-72V)4r,V (i-yV)- )47-,V (4.17) Для наглядного П1)едставлепия частоттп51Х свойств звена используются так называемые частотные характеристики. Амплитудно-фазоваячастотнаяхарактеристика (а. ф. х.) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой гео.мегрическое .место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции Wijfu) = [/((о) + ]У{(л) при изменении частоты от пуля до бесконечности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладывается вещественная часть {/(ш) = Re WQiu) и по оси ординат - .мнимая часть V{(i>) = Im W{j(a). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются затем плавной кривой. Около напесепиых точек мож[го написать соответствующие и.м частоть[ ш й)., со3 и т. д. Длина вектора, проведенного из [ачала координат в точку а. ф. х., соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол .между вектором и положительным направлением венюствепиой оси, отсчиты-ваемьи! против часовой стре.чкм, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, а. ф. х. дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними. Построение а. ф. х. по вещественной и мнимой частям частотной передаточной фуьисции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции иа ко.мплекспую величину, соиряжеиную ее знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Обычно гораздо nponie строить а. ф. X., ис[Н)льзуя 1оля1)Ные координаты, т. е. вычис.мяя непосредственно модуль и фа.зу. Зная .модуль и фа.зу, можно легко построить соответствуюп1ую точку на ко.мп-лекспой плоскости. В случае тгеобходнмости при известных модуле и фазе легко вычислить вещественную и мнимую части у.\Н1ожеиие.м модуля на направляющий косинус мелсду вектором и соответствуюп1ей осью. Вместо а. ф. х. можно построить отдельно амплитудно-частотную характеристику (а. ч. X.) и фазочастотную характеристику (ф. ч. х.). Амплитудно-частотная характеристика нока-зываег, как пропускает звено сигнал различной частоты. Опенка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. Фа.зочастотная характеристика показывает фазовые сдви! и, вносимые звенол[ на различщлх частотах. Как следует из сказанного выше, моду/[ь частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты, а фаза -- нечетную функцию частоты.
Рис. 4.7
|