На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая но фазе относительно входной ве;щчииы на угол Таким образом, для выходной величиШ)! можнозанисать

Х2 = cos((or + \J/).

Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций;

Х2 =

2 l

= X{ + X{:

(4.10)

В линейной систе.ме на основании принципа суперпозиции .можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих х, и х2 . Кроме того, можно легко показать, что достаточно рассмотреть прохождение только составляющей х которая в выходной величине дает составляющую хз. Соотношение между составляющими х, и х2 получается таким же, как между х, и х2. Поэтому в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью cos м = е . Тогда

2 = 2М<-

(4.11)

Символичность этой сокращенной записи заключается в отбрасывании составляющих с множителем е *.

Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в виде

2 dX2 dx2

+ 7,--f- + x2=,x,+2

Из выражений (4.11) определи.м производные:

= ;соХ

dx2 ~dt

2М>-

jx2 dt

= (;ш)2х2л,е> *>.

Подставив значения входной и выходной величин и их производных в дифференциальное уравнение, получим:

Гх2л,е>( > +r,j(0x2,e > +х2л,е( > =/Х е> +k2Jb,X,e. После сокращения на общий множитель е * найдем:

+к2](Л

i + TJ(o + T(j(i)y

- = W(;co) .

(4.12)

Иногда употребляют символическую запись sin ш = е.

Это выражение называется частотной передаточгюй функцией звена. Таким образом, частотная передаточная функция W(/co) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отиопгепию амплитуды выходной величины к амилит\де входной, а аргу.меит - сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной:

пю(1Щ;а))= Щ;а))=

argW(j(u) = \\i.

(4.13)

В более общей формулировке для входного сигнала ;иобого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений (частотных и.зображений) выходной и входной величин:

что непосредственно вытекает из формлы (4.1) при переходе от изображения по Лапласу к изображению Фурье; следовательно, частотная пе1)едаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкойр =]ш.

Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, т. е. имеет место интегральное преобразование

W{ja) = J w(t )e~ 4t. (4.15)

Частотная передаточная функция может быть представ;гепа в следуюп1ем виде:

\VOm) = /1(со)е= f/(m) +7У(со), (4.16)

где Л(со) - модуль частотной передаточной функции, \(/(со) - apiyMCHT, (со) и V((o) --веществеппая и мнимая составляющие частотной передаточной фупкци1Г

Модуль частотной передаточной функции находится как отношение Mtviy.ieii числителя и знаменателя. Для рассмотренного выше выражения (4.12)

(i-rjV) +7;V

Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разност аргу.ментов числителя и знаменателя. Для (4.12) имее.м:

\/(m) = arctg---arctg .

Для нахождения веп1ествепной и мнимой частей частотной передаточной фу1и<;-ции необходимо освободиться от .мнимости в знаменателе путем умножения чиечн-

56 Непрерывные линейные системы автоматического управпения

теля и впамспателя па комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести ра,зделение на венюствепную и мнимую части. Для (4.12)

(i-72V)4r,V (i-yV)-

)47-,V

(4.17)

Для наглядного П1)едставлепия частоттп51Х свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудно-фазоваячастотнаяхарактеристика (а. ф. х.) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой гео.мегрическое .место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции Wijfu) = [/((о) + ]У{(л) при изменении частоты от пуля до бесконечности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладывается вещественная часть {/(ш) = Re WQiu) и по оси ординат - .мнимая часть V{(i>) = Im W{j(a). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются затем плавной кривой. Около напесепиых точек мож[го написать соответствующие и.м частоть[ ш й)., со3 и т. д.

Длина вектора, проведенного из [ачала координат в точку а. ф. х., соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол .между вектором и положительным направлением венюствепиой оси, отсчиты-ваемьи! против часовой стре.чкм, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, а. ф. х. дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними.

Построение а. ф. х. по вещественной и мнимой частям частотной передаточной фуьисции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции иа ко.мплекспую величину, соиряжеиную ее знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Обычно гораздо nponie строить а. ф. X., ис[Н)льзуя 1оля1)Ные координаты, т. е. вычис.мяя непосредственно модуль и фа.зу. Зная .модуль и фа.зу, можно легко построить соответствуюп1ую точку на ко.мп-лекспой плоскости. В случае тгеобходнмости при известных модуле и фазе легко вычислить вещественную и мнимую части у.\Н1ожеиие.м модуля на направляющий косинус мелсду вектором и соответствуюп1ей осью.

Вместо а. ф. х. можно построить отдельно амплитудно-частотную характеристику (а. ч. X.) и фазочастотную характеристику (ф. ч. х.).

Амплитудно-частотная характеристика нока-зываег, как пропускает звено сигнал различной частоты. Опенка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин.

Фа.зочастотная характеристика показывает фазовые сдви! и, вносимые звенол[ на различщлх частотах.

Как следует из сказанного выше, моду/[ь частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты, а фаза -- нечетную функцию частоты.

Рис. 4.7