РАЗДЕЛ IV НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЬ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Глава 16

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 16.1. Общие понятия

Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, кото()ая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Перечислим виды пе.чииейных звеньев:

1) звено релейного типа (рис, 1.12);

2) звенос кусочпо-липейис)!! характеристикой (рис. 1.10, с) и др.);

3) звено с криволи1К;йпой характеристикой любого очертания;

4) звено, уравпспие которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5) нелинейный импульсный .злемснт;

6) логическое звено;

7) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе переменной структуры.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые описываются нелинейными алгеб()аическими уравнениями, а вторые представляются в виде пелинейных дифференциал ыигчуравнепий.

Обишй метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем. Сначала по правилам § 3.1 производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это доиустил.о, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одпого-двух). Затем составлю,ются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система линейных уравнений, к которым добавляется одпо-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобп1енную структурную схе.му любой нелинейной системы в случае одного иелипешюго звена можно представить в виде рис. 16.1, а, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обраттямисвя.зямп ит, ir, как, например, нарис 16.1,билив). ВслучаедвухнелинеИ-

ных звеньев мо1-ут быть paijHbic ком-бинании, в зависимости от того, в какие цени системы они входят (см., нанри.мер, рис. 16.2),

Часто при исследовании нелинейных систем удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами

(16.1)

Пс.тнейнос

I-z-,1 -

Ч. Ли)1сйлая часть J

Ксли пейнос

Нелинейное

Рис. 16.1

которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, как будет показано в следукнцнх параграфах, ие удается этого сделать и приходи гея исследовать нелинейные диффере!пи1а.1ь-ные зависимости вида

Х2 = F(X рх,), х., = f, (X,) + F; (рх,у, (16.2)

f (рХ2,Х2) = С,Х F, С 42№) + 2 (.2) = С,Х, И Т. П. (16.3)

Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции разде.тьпо:

F2(pX2, X2) = f, (X,),

F:i (рХ2) + f2 (Л2)

(16,4)

или же в.месте:

F2(PX2,X2,X) = 0,

F2(.r2) + Fi(.r2,x,) = 0.

(16.5)

Разделим все нелинейные системы на два больших класса,

1 . К первому классу отнесем такие, в которых уравнение нелинейного .звена приводится к любо.му из видов (16.1)-(16,3), т. е. когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина(и ее производ}1ые) либо только выходная величина (и ее производные). При этом имеется в виду, что схема систе.мы в целом

Нелинейное звено I

Линейная часть if* 3

Лииейная часть llj

Нелинейное! ивеиоИ I

(ннейная часть i

Нелинейное звен(11

инейпос лаано И

Лчнешгая часть llV

Нелиией-/ ное iiBCHO I

Мел и ней ное звено !1 \

Линейная часть систем ь[

/i(0

Х2-Х[-У2

<8

может быть нривсдепа к виду рис. 16.1 с одним пелипеГтым звеном. К этому классу сводится также случай с двумя пелинейпыми звенья.\и1, указанный иа рис. 16.2, , так как там они могут быть объсщипены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и с.тучан, показапиьн ! на рнс. 16,2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (16.1) или (16.2)).

2 . Второй к л а с с нелинейных систем включает системы с любым числом пелипейных звеньев, когда иод знаки иелииешых функций входят ра.зличные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелпнейпы.м звеном вида (16.4) или (16.5), а также в системе с дву.мя нелннейпы.ми звеньями (рис. 16.2, а или г), если в нервом из них иод знак не.чннейно-стн входит входная величина, а во второ.м - выходная. Система же рис, 16.2, б относится ко второ.му классу, если иод знаки нелинейностс!! входят в обоих звеньях либо только входные, либо только выходные величины нелинейных звеньев.

К о в т о р о м у к ласе у пе.пшсйных систем относятся также систе.мы с ,твумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки пелпиейпых функций входят разные переменные, связанные между собой ном емньшм дифференциальными уравнепия.мн (т. е. связанные через линейные части и нелинейные звенья). К таким систе.мам относятся, напри.мер, система на рис. 16.2, а, если в ее уравнения х под знаками нелинейных функций находятся входные (и.тп выходные) величины обоих нелинейных звеньев, и многие другие системы,

Сцсте\П)1 с логическими устройствами относятся обычно к нелинейным система.м второго класса.

За\к;тим, что во всех случаях, когда под знак пе.чипейной функции входит какая-..шбо линейная комбинат разных переменных, их следует обозначать одной буквой, а данную липейпую ко.мбипацию учесть при составленш! общего уравнения Л1П1ейиой части систе.мы. Это бьшает, наиример, в тех с.тучаях, когда на в.чод пслир1ейпого звена подаются производные или включается обратная связь. Так, если для рис. 16.1, б

.r2 = f(2, +а,р2, -2.2),

то,обозначая

2, +,t,/?2i -X2Z2=.ri, (16.6)

.можно привести уравнение нелинейного звена к виду (16.1).

Из всех уравнений линейныхзвеньев, атакжедобавочныхлинейных выражений типа (16.6), получаемых при выделении нелинейности, составляется o6uieezy/; f M6 линейной части снстемы

Q{p)x, = -R{p)x2, (i6.7)

где Q (р) и R (р) - операторные многочлены, или передаточная функция линейной части системы

Ар) = . (16.8)

(lip)

Составлеине уравиеиий будет про1ьииострпровано т1же на прн.мсрах.