Формулы (14.115) н (14.116) позволяют выбрать значение коэффициента переда чи непрерывной части системы /Си постоя1и-1ой временит при заданном периоде дискретности Гили определить значение периода дискретности при заданном К.

Более детально [)еи1ениеза,аачи синтеза импульсных систем с зада1тыми показателями качества рассматриваются в главе 15.

§ 14.8. Случайные процессы в импульсных системах

Введем понятие случайной последовательности /(г), которую можно образовать из непрерывной случайной функции/(1) ее дискретизацией. В .этом случае она будет определена в дискр<;тцые .молкчггы времени /; = гТ. Бздем рассматривать стационарные процессы, когда вероятност(и>1е характеристики не зависят от времени.

Среднеезначение стучайногостационарного процесса

;V -4 2iV-f-l

/(0= limX/0)> (14.117)

или на основании эргодического свойства

f{i) = M{f(i)}= jfii)w[f{i)]df, (14.118)

где w{f(i)\ - одпо.мерная плотность вероятности.

Для центрирова11ных процессов среднее значение равно нулю. Введем понятие корреляционной функции

К{т)= lim -i- У f{i)f(i + m). (14.119)

Аналогично главе 11 можно сформулировать основные свойства корреляционной функции.

1. Для случая m = О

У?(0)= lim-l- Х /Ч0 = 7. (14.120)

л -->~ /Л + 1 , д>

2. При m = О корреляционная функция достнг.шт наибольшего значения:

R{0)>R{m). .(14.121)

3. Корреляционная функция яв.тяется четной:

R(-rn)-K(m). (14.122)

Прн ншичии двух случайных процессов/,(г) и/2(f) можно ввести понятие взаимной корреляционной фупкщш

R,2 (т) = 1 -2 (i + m). (14. ] 23)

Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляциоцпой функции для непрерывных процессов.

Введем понятие спектра.,чьной нлотности случайного стационарного процесса как двустороннего z-преобразования корреляционной функции

So(z) = TSiz) = T Х Rim)z- =T\Fiz)+Fiz-)-rm. (14.124)

где Т- нормирующий множитель, равный периоду дискретности, а F(z) представляет собой 2-п1)еобразовапие корреляционной функции R(m). Нор.чщрующий множитель Т введен в Sq(z) для того, чтобы сделать физическую размерность спектральной плотности дискретно1о случайного процесса равной размерности спектралыюн плолности непрерывного процесса и сохранить ее физический смысл. Однако это не обязательно.

Ана.10гично непрерывному случаю можно ввести понятие спектра.,1ьной плотности как функции круговой частоты

5(ю) = 5(е>)= £ R{m)e-j . (14.125)

Ш--00

ИЛИ при учете четности

5(00) = /?(0) + 2 R(m)coso)ff?r. (14.126)

Наконец, молено определить спектральную плотность как функцию абсолютной псевдочастоты. Для этого в фор.муле (14.124) нсобходи.мо перейти к да-преобразова-нию, используя подстановку (14.92), а затем перейти к псевдочастотс посредством

подстановки w = ij- В результате получи.м

[ 1 - W

(14.127)

Аналогичны.м образом .может ыть определена взаимная спектральная плотность двух процессов.

Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и д-мя случая гфО, тогда рассматривается случайная носледователы1ость/(г, е), корреляционная фуик1Н1Я

У?(?и,е), спектральные плотности 5(2, е), 5(a), е) и 5*(Я, с).

Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, .заключается в том, что интеграл от нее но всем частотам дает средний квадрат случайной величины. Можно показать [96], что в дискретно.м случае соответствующая формула и.меет вид

rj, и/Т fj-,n/T

/2(г) = - \ 5{ш)с1(л = - \ 5{(а)с1ш. (14.128)

2 -д/г о

Так как имеют место равенства

то фор.мула (14.128) может быть записана в виде

/(>i 1 = 1- <4Т29)

Выражение (14.129) обычно является более удобным для расчетов 1Ю сравнению с (14.128), так как позволяет использовать таблицы и1ггегра.тов (см. приложение 1).

Типовые случайные ста1щонарные процессы. Если для функции f(t), представляющей собой центрироваииую но.меху, эффективное время корреляции

Дт = - \Rix)dT (14.1,30)

меньше периода дискретности, Дт < Г, то такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляшюипой функцией

У?(т) =/?(0)-5о(7п), (14.131)

где 7?(0) = D - дисперсия, а 5о(т) - единичная импульсная функция, равная единице при m = о и равная нулю при тчО. Этому белому шуму соответствует спектральная плотность

5(z) = 5(w) = 5 (A) = D. (14.132)

Если эффективное время коррелящш Дх > Г, то корреляционная функция R{m) может быть получена из соответствующей корреляционной функции пепрерывио1о процесса Я(х) заменой т = тТ. Сиеетральиая плотность может быть получена использованием формул (14.124)-(14.127).

В табл. 14.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы.