Рис. 14.7

Однако болынинство за/чач по исследованию дискретных систем решается при использовании гкфе-даточноп фупкпии W{z).

Рассмотрим теп ерь зам кнуту ю и.мнульспую систему (рис. 14.1, б). Ее структурная схема может быть представлена так, как показано на рис 14.7, где Wj{p) - передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (см. гл. 5). Основу .этой chctcvibi составляет схе.ма, изображенная па рис. 14.4, при x{i) = u{i). Тогда изображепие управляемой величины г/() при/(г) = о

Y{z)=Wiz)X{z), (14.63)

где W{z) - передаточная функция ра.зомкпутой системы, которая при использовании экстранолятора нулевого порядка имеет вид (14.60) или (14.61).

Так как приведенная непрерывная часть систе\Н)1 реагирует пазпачс1П-1я ошибки системы x{t) = g(f) - y{L) только в дискретные моменты t iT, то x(i) = g(f) - y{i), a X{z) = G(2) - У(2), и из (14.63) получим:

У(2) = G{z) = Ф(2)(7(2);

(14.64)

X{z) =

1 + 1(2)

6Чг) = Ф,(2)С(2),

(14.65)

где Ф(2) - передаточная функция зали<нутой системы, а ФДг) - передаточная функция замкнутой системы но ошибке (но своей структуре эти передаточные фу1гкции аналогичны передаточным функциям замкнутой непрерывной системы (см. гл.5)).

В качестве передаточной функции разомкнутой системы .можно рассматривать и .модифицированную передаточную функцию (14.62). Тогда ири lJ{z) = X{z)

F(2,e)= l(2,e)X(2), (14.66)

или с учетом (14.65)

yM = ~Gi)-4z,)Giz), \ + W{z)

(14.67)

где Ф(2, £) -- модифицированная передаточная функция замкнутой системы (обычью эта передаточная функция не исноль.зуется, так как практически всегда для оценки качества работы дискретной систе.мы достаточно знания передаточных функций W{z),

Ф(2) или Фд.(2)).

Передаточная фушсция и.мнульспой системы (рис. 14.7) но возмущению Ф/г) ие существует. Это связано с тем, что если F{p) представляет собой изображение но Лапласу фушсции f{t), то как отмечалось ранее,

Z{Wj\p)F(p)) = WjF{z) Ф Wjiz)Fiz).

(14.68)

При наличии возмущения для разомк1гутой системы вместо (14.63) получим

Y(z) = W(z)XU) + WfF(z). (14.69)

Отсюда с учетом выражения X(z) = С(г) - У{г) для замкнутой системы и.меем:

WF(z)

У(г) = Ф(г)С(г) +

\ + W(zy

(14.70)

Изображение WjF(z) можно определить только для коикреТ1И)1х заданных воздействий /(О- Однако, как будет показано в § 14.5, это не является препятствием для оценки качества импульсных систем при детерминированных воздействиях.

§ 14.5. Уравнения состояния

Уравнения состояния при непрерывном управлении

х = Ах + Ьи + тп/;

у = с X

(14.71)

и способы их нолуче1Н1я были рассмотрены в главе 5. Найде.м уравнения состояния для и.мпульсной систе.\н>1, схема которой н.юбражена иа рис. 14.4 с учето.м возмущаюпюго воздействия. Передаточные функции ИоО) и Wjip) полагаются заданныхп, Это означает, что известШ)! и .матрицы/1, 6, т, с.

Ре1пение первого из уравнений (14.71), как было показано в главе 5, и.меет вид

х(О = И.г(0)-н

bu{x) + mf{x)

(14.72)

Для дискретных моментов времени из (14.72) получи.м:

x(f) = ej(0)-i-

bu(x) + mf{x)

(14.73)

Входное во;здействие u{t.) = u*(t) изменяется по закону (14.2), причем коэффициент пропорциопалыюсти Л, отнесен к матрице b . Возмущающее воздействие/(г) будем полагать детерминирова1Н1ЫМ и из.\IeняюuнI.vIcя по любому закону, по таким, что в течение периода дискретности 7его .можно считать постоянным: f(t) = f(i) при iT <,t<{i + 1)Т. В реальных системах при ма;ияхзиачеииях Гэто условие, как правило, выполняется.

Решая (14.73) последовательно шаг за шагом при i = 1, 2,как это делалось для разностных уравпепий (см. 14.2), получим:

(i + Y)7-

iT+T

r(f + l) = e-j(i)+M(0 J e-)b dx +f(i) \ е-Ш dx ,

или после введения новой переменной а = iT+ Т-т

xii + \) = (Axii) + u(i) J ehda + fiiyjemda. (14.74)

(1-7)7- о

Таким образом, для импульсной системы (рис. 14.4) уравие1П1я состояния можно представить в виде:

x(i +1) = Л * х(г) + b * u(i) + fh* f (i); У0) = сх(1),

(14.75)

Л* = 6 , b* =

т г

ehdG, fh* = \efhd(5,

О-уУ о

(14.76)

а матрица такая же, как и в (14.71).

При переходе отурав}1ений (14.71) куравнениям (14.74) наиболее сложной операцией является вычислетше матрицы А*. Задача определения этой магри1п>1 может быть решена различными способа.ми [31]. В общем случае предпочтение следует отдать способу, основапно.му па использоватш преобразования Лапласа, согласно которому

{рЕ-Л]~

(14.77)

где р - оператор Лапласа, Е - единигная матрица.

И1Н>ьми словами, для получения Л* необ.ходнмо найти матрицу, обратную матрице (рЁ-А), для каждого ее элемента осуществить обратное нреобра.зовапие Лапласа п в получе}1Пых выражениях заменить i на Т.

Обширггая таб-тица для .матриц (14.76), соответствующих наиболее распространенным нередаточиы.м функция.м Wq(p) и Wj{p), приведена в [57]. При еенсполь.зова-нии в выражениях для Ь скважность импульсов У; следует .заменить на у.

В частно.м случае, когда у)авнения (14.71) представлены в канонической форме (см. гл. 5Х т. е. когда матрица А является диагональной с элементами pj, р2, Рп матрица Л вычисляется очень просто: