/(z) = lim

г ->1 r/zL

= ГУ,

что совпадает с табл. 14.1.

В случае, когда степень числителя F{z) равна степени зпа.мепателя, следует аналогично изложенному выше выделить член пулевого порядка/(0) делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток отделения.

6. Разложение в ряд Л о р а н а. Из основного выражения для пахождепия 2- преобразования (14.24)следует:

f(2) = f;/(f)2- = /(0) + /(1)2- + ... + f{k)z- + ...

Разложив лкбым способом изображение b\z) в ряд Лорана (ряд по убываюишм степепя.мг):

f(2) = Co- c,z+...+c2 >+...,

и сравнивая два ряда .между собой, можно установить, что Cq =/(0), с, =/( 1), С2 = /(2), c=f{k) и т. д.

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение едип-ствспио. Наиболее удобным приемо.м для дробно-рациопальпых фу1П<ций является деление чис;И1теля на зпа.менатсль.

Применяя разложение в ряд Лорапа, можно вычислить зпаче1П1Я оригинала /(г) ггли/(/, е) в дискретных точках без нахождения полюсов изображений F{z).

7. Решение разностных у р а в н с и и й. Пустьиместсяразиостносурав-пеппе в форме (14,10)

С(,г/(г + п) + Cy(i + п - \ ) + ...+ c y{i) =-- V(f + т) + Ь,и{г m - 1) + ...+ b, u{i)

с начальными условия.ми y(v) =y{v = о, 1,... и - 1). Найдем 2-преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (14.33) для случая упреждения иа и тактов

2{г/(г + )} = 2

Y{z)-Yy{k)

Аналогичные зависимости могут быть ;?аиисапы для упреждения на (и - 1), (и - 2), 1 тактов.

Для входной последовательности начальные условия не задаются. Поэто.му

Z{u{i + т)] = z U{z).

В результате при переходе в рассматриваемом разностпо.м уравнении к изображе-ния.м получим:

C(z)Yiz)-Yoiz)-B{z)U(z), (14.43)

где С(2) = (.02 + с,2 - +...+ с , B{z) = V + +...+ b, , а Г (2) - сумма чле1юв, определяемых начальны.ми условиями.

Из (14.45) можно найти изображение искомой выходной последовательности

(14.46)

С(2)

С(2)

Далее .можно использовать и.зложенные выше ирие.мы перехода к искомому оригиналу г/(г).

Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия y(v) = г/, (v = О, 1,т - \ ). Последние же зависят от вида действуюпгей в правой части разностного уравнения входной последо-вате7н>ности.

Более удобны для решения разностные уравнения вида (14.11) СоУО) + С\У0 - 1) -пУО - и) = ЬиЦ + т - п) + bu(i + т- \-п) + ...+ Ь и({ - п)

с начальными условиями z/(-v) = г/у (v = 0,1,и).

Изображение пос;гедовательпости y(i - п), запа,здываюцей на п тактов, в соответствии с (14.31) будет

Z{y(i-n}\ = 2-

У(2) + Х(-0/

г = 1

Подобные зависи.мости .могут быть записаны для запа.здывапия на (п - 1), (п - 2), ..., 1 тактов.

При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналогичные (14.45) и (14.46). Переход к искомой последовательности г/(г) осуществляется в соответствии с изложенными выше приема.ми.

Особый rnrreijec представляет случай, когда до момента времени t = О искомая последовательность тождественно равна пулю. Это эквипалеитио случаю пулевых начальных условий слева (при t = -0) при решении дифференциальных уравпепий для непрерывных фу1П<-ций. Тогда в выражении для изображения (14.46) пропадает член в п})авой части, определяемый на-чальны.ми условиями, и оно приобретает вид

Y(2) = U(2) = Wi2)U(2). С(2)

(14.47)

Здесь введена дискретная передаточная функция W(2), которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (вы-Х0Д1ЮЙ и входной величин) при нулевых пача.1ь-ных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных систе.мах. Получение этой 4)упкции будет подробно рассмотрено ниже.

/Т о..

8. Периодические последовательности и их изображе-п и я. Введем в рассмотрение периодическую последовательность

f{i + kM)=f{i), (14.48)

где k W М - целые числа, причем М представляет собой отпосительпый период (рис. 14.6).

Для симметртной периодической функции (см. рис. 14.6, б)М= 2Nii f(i) = - (? + Д ) Для пахождепия и.зображеиия периодической последовательности (14.48) при-.меним теорему сдвига (14.33):

Отсюда следует:

М м-1 2 -1 ,=0

Сумма в правой части (14.49) представляет собой изображепие последовательности на и)ггервале о - М.

Для сим.метричной последовательности/(?) = -/(г + N) аналогичным образом можно получить

F(2) = -X/( )г (14.50)

Найдем, например, изображение симметричной периодической последовательности, показанной на рис. 14.6, в:

г 2 -н 1 г- -И

Кроме рассмотренных существуют и другие теоремы г-преобразования [49].

§ 14.4. Передаточные функции

В предыдущем параграфе было показано, что передаточная функция W{z) системы, схема которой представлена на рис. 14.4, легко определяется если известно разностное уравнение (14.10) или (14.11). В соответствии с (14.47) она имеет вид

Wiz) = = ? (14.51)

U{z) C(zy

где B(z) и C(z) - полиномы, входящие в уравнение (14.45).

Однако на самом деле заданным является не разностное, а дифференциальное уравнение нспрерыврюй части системы. По.это.му, наоборот, один из способов получения