Второе слагаемое в правой части (14.33) о6рап1ается в пуль, если /(г) = О при i = О, 1,..., т-\.

При запаздывании иа пе целое число периодов т t приходится вводи гь смещенную послеловате.тьность f(i +г-т- £,), где т - целая, а - дробная часть запа.здывапия. Если смепюние е удовлетворяет устовию О < £ < и f(i+B-m-l,) = 0 при i + г<т--, то можно показать, что

Z, {/(г + е - ш - )} = 2 f(2,1 + е - I). (14.34)

Если < £ < 1, то

Z, {/(/ + г-т-Ь))-2 - F(2, £ - ). (14.35)

При использовании табл. 14.1 для нахожде1И1я изоб1)ажепий следует вместо е подставить 1 + е - или G - в соответствии сформулами (14.34) и (14.35).

3, С у .м .м а ординат последовательности. Если абсцисса абсолютной сходи.мости отрицательна (г < 0), то, положив в (14.24) р = О, имеем

f(l) = limF(2) = ;/(f). (14.36)

4. Ко и очное з п а ч е п и е п о с л е д о в а т е л ь и о с т и. Составим первую прямую pa:jHOCTb посаеловательиости/(г) и на основании (14.30) найде.м ее изобргжеиие

Z{A/(/)} = (2-l)f(z)-2/(0).

Далее иа основании (14.36) найде.м сумму ординат А/(г):

;A/(0 = lim(2-l)f(2)-/(0). Кроме того, можно записать

X А/(0 = X[/(i +1) - /(0]=lim f(i) - /(0).

Из двух последних выражений следует:

lim/(0 = lim(2-l)F(2). (14.37)

5. Формулы р а 3 л о ж е и и я. Если изображение представляет собой простейшую табличную фор.му (см., напри.мер, табл. 14.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложнад дробно-рациональная форма может быть представлена в виде сум.мы дробей первой стеиепи. Рассмотри.м некоторые употребительные разновидности формулы разложения.

а) Пусть изображение F(z) представляет собой отношение двух многочленов:

Я2) = - = .?М£) В(2) B(z)

причем будем предполагать, что степень числителя пе вьппе, чем степень знаменателя, а корпи зна.менателя простые. Тогда изображение .можно представить в виде су.м.мы

где B(z) -производная В(2)по2, а 2 (у = 1,2,...,/) -корни знаменателя. Элементарному слагаемому 2(2 - 2) соответствует оригина..! е = zl, 1де = Г in2 (см. табл. 14.1). В табл. 14.1 единственный корень дроби первой степени обозначен 2, Поэтому оригинал (14.38) можно aainicaTb следующим образо.м:

/(>i4. (14.39)

б) Пусть изображепие/ (2) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя Л (2) меньше степени знаменателя.

Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (14.38) и (14.39), по применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой фу1и<:ции, изображение которой будет zF(z). В результате имеем

причем последнее выражение будет справедливы.м только для г > 1.

в) Пусть изображение F(z) не и.меет нулевого корпя числителя A(z), причем степень/4(2) равна cTenemi зпамеггателя Л(2). Тогда следует 1К)Низить степень числителя, поделив его па знаменатель, и представить F(z) в виде су.м.мы составляющей пулевого порядка и дробно-рационального остатка 0(2). Тогда

Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле (14.40), которая справедлива для г > 1.

г) Если изображение F(z) можно представить в виде

B(Z) 2-1 2-1 йо(2)

то можно показать, что формула разложения приобретает вид

/(0=М) МЫ-2;. (14.41)

Во(1) hO-zjB(z)

Последнее выражение представляет собой anaioi- известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.

л) Пусть изображение F(z) имеет нулевой но;иос кратности г и простые остальные

[ЮЛЮСЫ

F(2) =

/1(2) Л(2)

В(2) 2Во(2)

причем степень числителя A{z) меньн1е степени полинома Bq(z). Тогда можно найти оригинал в виде

/0>

О, есми i<r + l,

Yblz-, если i>r + l. ZBoiz,)

(14.42)

При равенстве степеней числителя и полино.ма Bz) следует выделить деление.м A(z) на Bq(z) нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение п виде

Aiz) Aiz).l Biz) zBo(z) 2Ч

Л(£)

Здесь /(г) - значение оригинала в момент г = г. Далее можно воспользоваться формулой (14.42), за.менив в ней Л(2) на 0(2).

е) Пусть изображение F(z) имеет полюс 2, кратности г, а все остальные полюсы простые:

F(z) =

A(z)

А(г) Biz) (г-2/)Во(2)

причем степень числителя меиьще степени зна.менателя. Тогда оригинал будет

Inn-

it 5(2,) (r-l)!.-W2<-)

(14.43)

Эта формула справедлива для f > 1. При г = Означение оригинала /(0) = 0. Для случая двойного корня (г= 2) формула (14.43) приобретает вид

B(2j -г,г/2

Aiz)z So (2)

(14.44)

Так, например, если

f(2) =

72 (2-1)