В зависимости ()т способа определешя текущего значения скважности у; различают пифотно-имнулыную модуляцию 1-го рода (ЩИМ-1) и 2-го рода (ШИМ-2). При 111ИМ-1 (рис. 14.3, а) скважность/-Г0 импульса

J , м(гТ)! при /< , м(;Г)<1, =1 1 .ри. : (ГО>1, -

где - ко:)ффицие1ГГ пропорционалыи)Стн (крутизна характеристики широтпо-им-пульспого модулятора).

Так как длительность импульса т, = у,7не может быть больше периода дискретности Т, то при I u(iT} \ > kl скважность у, = 1, т. е. происходит насьицение .модулятора.

При ШР1М-2 (рис. 14.3, б) длительность и.мпульсов определяется в результате сравнения непрерывного входного сигнала u{t) с. некоторым периодически.м оиорны.м сигнало.м и) (0< н качестве которого обычно исноль.зуется пилообразный сигнал, фор.ми-руемый специальным генератором. Импульс1> запускаются в моменты вре.мени г iT и существуют до мо.мента совнадешш сигна.юв u(t) и (г). Как правило, ПШМ-2 исноль.зуется в систе.мах, в которых сигнал u(t) не .меняет свой знак. Примером .может служить система стабилизагши напряжения, рассмотрсппая в главе 1.

Широтпо-имп.ульс1П)1Й модулятор, даже если он в процессе работы системы управлепия пе пасьицае гея, является нелинейным .звено.м. В этом можно убедиться, воспользовавшись принципом супе[)позицин, согласно которому реакция линейного звена па сумму входных воздейслтшй должна быть равна сум.мс реакций.

Рассмотрим, например, 1ПИМ-1, положив для простоты в (14.4) = 1. Пусть сигнал па входе .модулятора м(0 = u(t) + U2(t) представляет собой ступенчатую функцию, причем М(/) = 0,2 1(/.), г/2(0 = 0,5 1(0- l- еигналы и(1) и М2(0 действуют одновременно, то в соответствии с (14.3) и (14.4) на выходе модулятора появится последовагельпость импульсов u*(t), высота которых равна h, а длительность т = 0,7Т. Это есть реакш1Я па сум.му воздействий. Пусть теперь действует только сигнал И(0-Реакцией-на него будет последовательность и.мпульсов высотой h и длительностью 0,27. Соответственно, реакция па сигнал 2(0 - это последовате;п.пость и.мпульсов, высота ко горых равна h, а длительность - 0,57 . В результате сум.ма реакций будет представлять собой последовательность импульсов, длительность которых т = 0,57, а высота равна 2h при г7< t < \Т+ 0,2Т и h прн iT+ 0,2Т< t < iT+ 0,5Т. Таким обра.зом,реакция иа сумму воздействий пе равна сумме реакций и пришит супериозиппи пе выполняется.

Рассуждая аналогично, нетрудно убедиться, что aшли гудио-импульсный .модулятор является линейным .зве1К)М. 11оэтому гшже рассматриваются только системы с амплитудно-импульсной .модуляцией. Сисгемы управлепия с пн1рот110-и.\н1ульспой модуля1шей из-за нелинейности самого имиульсного элемента (широтно-имнульсно-го .модулятора) относятся к нелииейны.м система.м и будут рассмотрены в разделе IV.

§ 14.2. Разностные уравнения

в импульсной системе (рис 14.1, б) на вход непрерывной части поступает последовательность импульсов и*{1), модулированных по амплитуде. Несмотря на то, что

.2/(0

иЦГ)

с 01 Т 2Г с ОТ

Г 2Г t О

г 2Г t

Рис. 14.4

пульсный элемент является линейны.м, получить ди(1ференци;хльпое уравнение системы, как это делалось в главе 5 для 1гегферывпых систем, не представляется воз.можным из-за разрыв1ГОго характера сигнала и*{1). ГТоэто.му для исследования импульсных систем вместо дифференциальных уравиепий используются так пазьшаемыершност/гые уравнения.

Рассмотрим разо.мкнутую систему, состоящую из и.\гпульспого.элемента и непрерывной части. Ее схему представим так, как показащ) на рис. 14.4, где Wq(j)) ~ передаточная функция непрерывной части,а ихгпульспыйэле.мептусловноза.менен последовательным соединением ключа и некоторого форкптрующего устройства с иередаточ-иой функцией W (p). Ключ периодически с периодо.м 7зa.vИ)H<aeтcя па очень короткий про.межуток вре.мени и выделяет из пенрерывного сигналам(£) его мгновенные .значения u{iT) в соответствии с выражением (14.2). Фор.\п1рующе(! устройство обра.зует из этих значений импульсы пря.моугольной формы так, как показано па рис, 14.2,

Буде.м полагать, что входпы.м сигнало.м системы является ие и{1), а u{iT), или в сокращенной записи u{i). Несмотря па то, что сигнал y{t), как показано в главе 1, в обпге.м случае непрерывен, в качестве выходного сигнала системы будем рассматривать г/(/7), или в сокращенной записиy{i). Условно это отображено па рис. 14.4 Haju-r-чием ключа на выходе непрерывной части.

Последовательности тина м(г) i\y{i) иногда называют реп!етчатыми функциями, хотя в строгом понимаиии они функциями пе являются.

Аналогом первой производной непрерывной фупкцш! для любой последовательности /(г) служит конечная разность 1-го порядка или первая разность

А/(0=/(/+1)-/(0. (14.5)

Она определяется в .момент времени t = гТкак разность между будуицгм значением последовательности при t (/ + \ )Тя текущим значением при t = iT.

Аналогом второй производной непрерывно!! функции для последовательности является конечная разность 2-го порядка или вторая разность

д2/(0 = A[A/(OJ = А/(/ + 1) - А/(0 =/(г + 2) - 2/(i + 1) +/(0- , (14-6)

В общем случае для -й разности можно записать

AV(0=I(-l)Cr./(/ + A-v),

(14.7)

v\(k-vy. (14.8)

- биномиа-чьиые коэффициенты.

В качестве аналога дифференциального уравнения можно рассматривать г ?ав;ге-ние в конечных разностях. Применительно к системе, изображенной на рис. 14.4, оно имеет вид

аоД ,г/(г) + aiA .z/(/) +...+ а у(0 = dAuii) + с/.А u(i) +...+ d u{i), (14.9) где т<,п.

Однако при исследовании дискретных систем удобнее пользоваться уравнением с .г/(/ +п) + cy{i + п-\) + ...+ с г/(0 = buii + т) + hu(i + m - 1) + й, и(0, (14.10)

которое получается из (14.9) с учетом (14.7). Оно и называется разностным уравнением.

Уравнение (14.10) можно представить и в ином виде:

Col/(0 + cy{i- 1) + ...+ c y{i -п) = bQu(i + m - n) + bu{i + m-\ - n) + ... +

+ h u{i-n). (14.11)

Разностные уравнения но существу являются рекурреппгыми соотношениями, позволяюпцми при i = О, 1, 2,... последовательно шаг за niaroM (т. е. рекуррептно) Ш)Гчислять значения выходной величины y{i) прн заданных ее иачалынл1х значениях и любых заданных anaJHiTHHecKH, графически или таблично значениях входной величины u{i). Например, из уравнения (14.11), задав начальные значения у{-п),у{-п+\).....

г/(-1) и значения м(г) можно последовательно найти г/(0),г/(1),г/(2),... Такие вычисления легко .манишизируются, а также не представляют никаких принпи1шальных трудностей и при ручном счете (кро.ме, конечно, .затрат времени) даже в счучае, когда ко:.)ф-фициепты разностного уравнения с течением времени из.меняются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов - дифференциальных уравнений.

Общее решение неоднородного разностного уравнения (14.10) или (14.11), как и peuieime неоднородного дифферепшгального уравнения, представляется в виде суммы переходной и вынужденной составляювшх. Переходная составляющая, т. е. общее решепие однородного ураннения, определяется с.тедующим образо.м:

y{i) = C,z\+C.,z[+... + cA. (14-2)

где2(у= 1,2,..., и) - некратные корпи характеристического уравнения

Со- + с,2 -...+ с = 0, (14.13)

которое легко получается из (14.10), а - произвольные постояш!ые.

Из (14.12), в часпгости, вытекает условие затухания свободного движения системы, описываемой разпостпы.м уравнение.м (14.10), т. е. условие устойчивости;

2,<1 (у=1,2,...,и). (14.14)