Если изображение представляет собой сложную дробно-рациона.!ия1ую функцию, то можно использовать теорему разложения (см. § 7.4). При отсутствии нулевых кор-

ней знаменателя изображения

Х(р) =

аналогично фор.муле (7.37) получаем

(13.72)

(13.73)

При наличии одного нулевого корпя знаменателя изображения

Х,(р,0

Х(р) =

рХ-2(Р,0

(13.74)

аналогично формуле (7.39) получаем

х,(0 =

2(0) ?,

(13.7.5)

В формулах (13.73) и (13.75) корни знаменателя предполагаются некратными.

§ 13.4. Устойчивость и качество управления

Д.мя систем с иеременными нара.метра.ми понятие устойчивости и.меет некоторую специфику. Ехлн система работает ограниченный интервала времени, то понятие асимптотической устойчивости (см. § 6.1) практически теряет спой смысл. Однако для квазистационарных систем при сравнительно медленном изменении коэффи1и1-ентов уравнения (13.1) представляется воз.можным сформулировать понятие устойчивости следуюпц.м образом.

Буде.м считать систе.му с переменными параметрами устойчивой на .заданно.м интервале времени 7 , если ее нормальная функция веса (1.3.4) или (13.5) затухает во Вре.мени для всех фиксированных значений в, лежащих внутри этого интервала. Это Условие можно записать следующим образо.м:

Если для системы получепа нормальная функция веса, то вид ее и определяет устойчивость системы.

Однако в некото[)ых случаях имеется сопряженная функция веса (13.6 ) или (13.7), которая связана преобразованием Лапласа с параметрической передаточной функцией (13.57) и преобразованием Фурье с параметрической частотной передаточной функцией (13.53) или (13.54). Поэтому более просто можно исследовать вопрос затухания функции веса вдоль аргументов в (смепюпие) или О (реверс-смещение). Ус-;ювие затухання вдоль этих аргу.мептов .можно записать следующим об1)азом:

= jk,(f-0,0)1 je= jr£)(e,f-0)1 Je<o=>, o<i<T. (13.77)

Однако затухание сопряженной фуикпии веса и выполнение условий (13.77) еще не означает затухания норма.тьной функции веса и выполнения условия (13.76). Заметим, что в системах с постоянными параметрами ие наблюдается такой нсопреде-.теппости, так как для них совпадают оба разреза [)е.н>ефа функции веса: а- (т) = го (9), и оба интеграла: 7, определяемые фор.мулами (13.76) и (13.77).

Можно гкжазать [86], что д.чя систем, описываемых дифференпиальиым уравне-иием вида

ao(t) + ... + a (t)x = f(t), dt

выполнение условия (13.77) ирактически обеспечивает выполнение условия (13.76). В этих системах исследование устойчивое ги .может быть проведено на базе параметрической передаточной ()упкции.

Исследование затухания сопряжеипой функции веса .может проп,зводиться как по ее виду, если она известна для рассматриваемо!! системы, так и на основании отсутствия полюсов нараметрической передаточной фупкпии за.мкиутой систе.мы в правой полуплоскости и на мнимой оси. /Для этой пели могут привлекаться известные критерии устойчивости, например, критерий Найквиста и др.

Формулы главы 5, дающие связь между ие[)едаточпы\П1 фyпкцияHJ замкнутой сисгемы Ф (р), разомкнутой системы W(р) и передаточной ({зуикцией но оптбке Ф,-(/>), сохраняют свою силу и для нара.метрических передаточных функций.

Качество управления может быть опепено но виду переходного процесса (переходной функции или функции веса) в соответствии с § 8.4. Для этой цели должны исиользоваться нормальная функция веса и нормальная переходная функция, определяемые для фиксированного мо.мента времени О < в < 7.

Рассмотри.м тене1)ь точность воспроизведения задающего воздействия в с.тедя-щих системах. Составим дифференциальное уравпение (13.1) так, ч тобы в левой части находилась ошибка х (t), а в правой - задающее воздействие g (f):

ao(t)...a (t)xit) = b,(t)... + b(t)g(t). (13.78)

dt dt

Реакция системы иа дельта-функцию в правой части g (f) = 5 (г -- в, Ь) представляет собой функцию веса оптбки (С - б, б).

В соответствии с формулой (1,3.11) ошибку системы .можно представить в виде

x(t)= jw{e,t-e)f(t-Q)do.

(13.79)

Разлагая задающее воздействие в ряд Тейлора около точки t и подставляя его li (13.79), получаем

х(0 = g(0 lг&,(Q - 0) ie- g(0 jffi.v(e, - 6) 00 + jro,(0,f - 0) oVo +... (13.8O) 0 0 0

Ограничимся случаем, когда t > где t - время затухания функции веса. Тогда верхний предел интегрирова1Н1Я в (13.80) можно положить равным бесконеч]1ост1Г В результате (13.80) .можно представить в виде

х(с) = Со (О + g(t) + q (t)g(t) + g(t) +...

(13.81)

Здесь введено понятие ко.эффицисчпов ошибок, оиределяе\п>1Х выражением

(-1)*сД0= J ..,(e,£-0)0W0. о

(13.82)

В отличие от коэффициентов опшбок системы с постоянными пара.метрами здесь они получаются зависяии1ми от времени.

Коэффициенты ошибок можно вычислить с помощью параметрической передаточной функции по оптбке (р, t). Из (13.57) следует

\W,ip,t)]=o= r,(0,i-O)e- V0

ш,(0,/-о)с/е=со(о.

(13.83)

Дифференцируя W. (j>, t) по р и положив затем /; = О, получаем фор.мулу для определения k-ro коэффициента;

с*(0 =

dW,{p,t) d/

(13.84)

Ко,эффициенгы ошибок .могут быть также получены деление.м числителя (р, t) на знаменатель так, чтобы получить ряд по возрастающим степеням р.

Коэффициенты ошибок могут также определяться для возмущающего во:}лей-ствия по соответствующей функции веса или по пара.метрической передаточной функции относительно возмущающего во.здействия.