(13.54)

где 0 = г - в - реверс-сменюние, а w (О, t -0) - сопряженная функ(Н1Я веса (13.7).

Величина, находящаяся в правой части (13.52) иод;и1аком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времених (/). Поэтому вместо (13.52) можно записать

X Ow, t)-W (/со, О FОсо). (13.55)

Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с нере.ме(нн.1мн иара.\1етра.ми можно представить как изображетю Фурье входной величины, умноженное на частотную передаточную (})упкцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключастс;я в том, что выражение (13.55) записано для некоторого фиксироваиного момента времени /. consl. В связи с этим в частотную передаточную функцию W(jbi, t) входит параметр t, вследствие чего она называется параметрической частотной иередаточной функцией.

Переходя в формуле (13.52) к нреобра;ювапию Лан.таса, получим

с+7(0

л(0= W(p,t)F(p)ePdp,

с-7(0

где пара.метрнческая передаточная функция

(13.56)

(13..57)

Отыскание пара.метрической передаточной функции. Использование иптег-ральпой связи (13.57) для нахождения параметрической передаточной функции является нерациональным, так как требует знания функции веса, что уетожняет задачу Более удобно находить параметрическую передаточную (})ункцию непосредственно из исходного дифферсипиальпого уравиепия (13.1). Положи.м в нем /(С) = 5 (г - в). Тогда решепие этого уравнения будет соответствовать функции веса w = хе (t - в, в). Подставим эти значения в (13.1):

ао(П-- + +(i (t)x dt

w(t-&,Q) =

Mt) - + ... + h(t)

5(£-в). (1,3.,58)

Умножим левую и правую части (13.58) на е и иропнтегрируем но в в пределах от -оо до I:

ao(t)

\w(t-b,b)ePd

+ ...-ffl (0

(t--Q,Q)e db

(13.59)

= hQ(t)p +... + h ,(t)

lie можно представить также в следующем виде:

W(jm)= jzi>(Q,t - 9) е- *(79,

На основании (13.57) величины, находящиеся в квадратных скобках, можно представить в следующем виде;

w(t-8,-8)edd = W(p,t)e .

В результате вместо (13.59) можно ;5аписать

ц(0-- Щ/лОе +... + а (с) \V(p,c)e = b (t)p + ... + b {t) dt - -

Продифференцировав левую часть и сократив на е , получи.м

, dA dW 1 dA d W ,

Л(р,г)1У(р,0 + -- + ...+- , , =й(р,0.

dp dt n\ dp dt

(13.60)

(13.61)

Здесь введены обозначения:

А{р,1) = сф)р +...a {t), B(p,t) = b,(t)p +... + b it).

(13.62)

Таким образо.м, параметрическая передаточная фурисция может быть получена в результате решения дифферепциа.тьного уравнения с переменнььуги коэффициентами (13.61).

Заметим, что в системах с ностояипы.мн параметра.ми передаточная функция пе зависит от времени и уравнение (13.61) приобретает вид

А(р) W(p) = B(p).

Передаточная функция в случае постоянства параметров будет

B(p) b,p +... + b,

Щр) =

А(р) аор +... + а

(13.63)

(13.64)

В случае переменных параметров уравнение (13.61) может быть решено методом последовательных пpибJИlжeний 86]. Для этого представим его в виде

А (р, t) W{p, t) = В (р. Г) +N{W{p, t)), (13.65)

N{W{p,t)) = -

dA dW 1 d A d W dp dt n\ dp dt

Будем искать решение в виде ряда

W{p, t) = 1Уо(р, t) + W,{pA)+...

(13.66)

(13.67)

Первое приближение можно получить, положив N = 0в (13.65);

Это будет передаточная функция системы с замороженными коэффициентами. Для вычисления первой поправки (р, t) подстави.м полученное из (13.68) первое приближение в правую часть (13.65), Тогда получим для первой поправки

Формула для k -й поправки будет иметь вид

<13.70,

Таким образо.м, последующий член ряда (13.67) получается посредством дифференцирования предыдуп1его члена в соответствии с (13.66) и подстановки его в (13.70).

Ряд (13.67) сходится тем быстрее, чем медленнее из.мепяются коэффицииггы исходного дифференциального уравнения (13.1).

По найденной функции W (р, t) может быть получена параметрическая частотная передаточная функция W (jia, t) подстановкой р =70).

Использование параметрических передаточных функций. В соответствии с формулой (13.56) и.зображение Лапласа выходной величины системы с пере.менными параметрами мож(10 найти как произведение изображения воздействия иа параметрическую передаточную функцию:

X(jp,t) = W(jp,t)F{p). (13.71)

Это дает возможность находить переходные процессы в системе с переменными параметрами посредством исполь.зовапия преобразования Лапласа (или Карсона-Хевисайда). Для этой цели но формуле (13.71) отыскивается изображение выходной величины, а затем делается переход к оригиналу х (t).

Для этой цели могут использоваться существующие таблицы изображений Лапласа функций времени. Так, например, пусть изображепие выходной величины равно

X(p,t) = W(p,t)F(p) = ----

p(p + bt+ct/)

Полагая в этом выражении время фиксированны.м параметром, по таблице (см., например, табл. 7.2) находим

х(0 = -[1-е-< bt + сГ