Главная ->  Повышение запаса устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [ 130 ] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

(13.54)

где 0 = г - в - реверс-сменюние, а w (О, t -0) - сопряженная функ(Н1Я веса (13.7).

Величина, находящаяся в правой части (13.52) иод;и1аком интеграла, представляет собой изображение Фурье функции времених (/). Поэтому вместо (13.52) можно записать

X Ow, t)-W (/со, О FОсо). (13.55)

Таким образом, изображение Фурье выходной величины системы с нере.ме(нн.1мн иара.\1етра.ми можно представить как изображетю Фурье входной величины, умноженное на частотную передаточную (})упкцию. Разница по сравнению с системой, имеющей постоянные параметры, заключастс;я в том, что выражение (13.55) записано для некоторого фиксироваиного момента времени /. consl. В связи с этим в частотную передаточную функцию W(jbi, t) входит параметр t, вследствие чего она называется параметрической частотной иередаточной функцией.

Переходя в формуле (13.52) к нреобра;ювапию Лан.таса, получим

с+7(0

л(0= W(p,t)F(p)ePdp,

с-7(0

где пара.метрнческая передаточная функция

(13.56)

(13..57)

Отыскание пара.метрической передаточной функции. Использование иптег-ральпой связи (13.57) для нахождения параметрической передаточной функции является нерациональным, так как требует знания функции веса, что уетожняет задачу Более удобно находить параметрическую передаточную (})ункцию непосредственно из исходного дифферсипиальпого уравиепия (13.1). Положи.м в нем /(С) = 5 (г - в). Тогда решепие этого уравнения будет соответствовать функции веса w = хе (t - в, в). Подставим эти значения в (13.1):

ао(П-- + +(i (t)x dt

w(t-&,Q) =

Mt) - + ... + h(t)

5(£-в). (1,3.,58)

Умножим левую и правую части (13.58) на е и иропнтегрируем но в в пределах от -оо до I:

ao(t)

\w(t-b,b)ePd

+ ...-ffl (0

(t--Q,Q)e db

(13.59)

= hQ(t)p +... + h ,(t)

lie можно представить также в следующем виде:

W(jm)= jzi>(Q,t - 9) е- *(79,



На основании (13.57) величины, находящиеся в квадратных скобках, можно представить в следующем виде;

w(t-8,-8)edd = W(p,t)e .

В результате вместо (13.59) можно ;5аписать

ц(0-- Щ/лОе +... + а (с) \V(p,c)e = b (t)p + ... + b {t) dt - -

Продифференцировав левую часть и сократив на е , получи.м

, dA dW 1 dA d W ,

Л(р,г)1У(р,0 + -- + ...+- , , =й(р,0.

dp dt n\ dp dt

(13.60)

(13.61)

Здесь введены обозначения:

А{р,1) = сф)р +...a {t), B(p,t) = b,(t)p +... + b it).

(13.62)

Таким образо.м, параметрическая передаточная фурисция может быть получена в результате решения дифферепциа.тьного уравнения с переменнььуги коэффициентами (13.61).

Заметим, что в системах с ностояипы.мн параметра.ми передаточная функция пе зависит от времени и уравнение (13.61) приобретает вид

А(р) W(p) = B(p).

Передаточная функция в случае постоянства параметров будет

B(p) b,p +... + b,

Щр) =

А(р) аор +... + а

(13.63)

(13.64)

В случае переменных параметров уравнение (13.61) может быть решено методом последовательных пpибJИlжeний 86]. Для этого представим его в виде

А (р, t) W{p, t) = В (р. Г) +N{W{p, t)), (13.65)

N{W{p,t)) = -

dA dW 1 d A d W dp dt n\ dp dt

Будем искать решение в виде ряда

W{p, t) = 1Уо(р, t) + W,{pA)+...

(13.66)

(13.67)



Первое приближение можно получить, положив N = 0в (13.65);

Это будет передаточная функция системы с замороженными коэффициентами. Для вычисления первой поправки (р, t) подстави.м полученное из (13.68) первое приближение в правую часть (13.65), Тогда получим для первой поправки

Формула для k -й поправки будет иметь вид

<13.70,

Таким образо.м, последующий член ряда (13.67) получается посредством дифференцирования предыдуп1его члена в соответствии с (13.66) и подстановки его в (13.70).

Ряд (13.67) сходится тем быстрее, чем медленнее из.мепяются коэффицииггы исходного дифференциального уравнения (13.1).

По найденной функции W (р, t) может быть получена параметрическая частотная передаточная функция W (jia, t) подстановкой р =70).

Использование параметрических передаточных функций. В соответствии с формулой (13.56) и.зображение Лапласа выходной величины системы с пере.менными параметрами мож(10 найти как произведение изображения воздействия иа параметрическую передаточную функцию:

X(jp,t) = W(jp,t)F{p). (13.71)

Это дает возможность находить переходные процессы в системе с переменными параметрами посредством исполь.зовапия преобразования Лапласа (или Карсона-Хевисайда). Для этой цели но формуле (13.71) отыскивается изображение выходной величины, а затем делается переход к оригиналу х (t).

Для этой цели могут использоваться существующие таблицы изображений Лапласа функций времени. Так, например, пусть изображепие выходной величины равно

X(p,t) = W(p,t)F(p) = ----

p(p + bt+ct/)

Полагая в этом выражении время фиксированны.м параметром, по таблице (см., например, табл. 7.2) находим

х(0 = -[1-е-< bt + сГ



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [ 130 ] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248