В предельном случае постоянства параметров F{t) = Ql const Тогда S (Г) = Q.I \\ S (д) = Qft. В результате из формулы (13.37) можно получить функцию веса консервативного звеиа

г(Г - д, д) = - sin (г - д) = - si п Qt.

Для исходного дифференциального уравнения (13.19) на осповапии (13.25) и (13.37) получаем искомую функцию веса

wit--d,-d)= . е sin Г5(0-5()1 (13,38)

Критерием медленности изменения функции F {t) и, следовательно, применимости полученного выражения может служить перавепство

i.iiXoi!4.MLi. (13.39)

которое получается из (13.31) и (13.34).

Метод последовательных приближений. Рассмотрим уравнение (13.1):

J jm л

ao(t) - + ... + a (t)x = bo(t)~ + ... + b, (t)f.

Ограничиваясь случаем квазистациопарных систем и полагая, что коэффициенты а, (f) меняются медленно, найдем функцию веса для этого уравнения.

Переменные коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде сум.мы иостоят(ой и изменяющейся частей:

а;(0 = а!+а,=а,(д) + а(г-д), , (13.40)

где а? =а,(д) - переменный коэффициент, зафиксировангияй для мо.меита приложения входной величины t==-e.

Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде

о + ?~ + - + = /о(0-(0, (13.41)

Ш = Ш + :. + Ь (П/, (13.42)

dt

. d x, dt

(1.3.49)

Это уравнение также .может быть решено с использованием преобразования Лапласа посредством нахождения оригинала изображения

Х2 (р) = -Ф (р) F, (р), где F, (р) - изображение .г/ (I) щш подстановке в формулу (13.43) х = .г,.

/м d x

y{f) = ao - + ... + a x. (13.43)

Поскольку мы предположили, что коэффициенты а, {t) меняются медленно, то функция у (t) мала но сравнению с левой частью (13.41). Эту функцию можно рассматривать как возмущение, и тогда к уравнению (13.41) можно применить метод последовательных ((риближепий.

В уравнении (13.41) можно перейти к изображениям по Лапласу. Тогда получим

Х(р) = Ф(р)Ро(р)--Ф(р)У(р). (13.44)

Здесь введено обозначение

Рещение уравнения (13.41) или (13.44) можнозанисать в виде ряда

x(t) = Xi + Х2 + Х3 + ... (13.46)

Для получения первого приближения х, зафиксируем переменные коэффициенты Qj (г) = а,- (в). Тогда первое приближение может быть найдено как решение дифференциального уравнения

оО + ... + х,=/о(0. (13.47)

Решение .этого уравнения можно по.;13чить, используя обычные методы (см. главу 7), в том числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) при У(р) = 0:

Х,(р) = Ф(р)Го(р). (13.48)

Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляется первое приближение х = Xj, а в левую часть - x = Xi+ х2. Тогда получается уравнение с фиксированными коэффициента.м и для определения поправки:

Повторяя этот процесс многократно, можно пайти рекуррентное соотношение для определения к -го члена ряда (13.46):

п d xj, о

о-- + ... + а х =-

(13..50)

Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты (ij (/,). Рассмотренный метод может использоваться как для нахождения функции веса и переходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известном воздействии f (t).

§13.3. Передаточные функции

Связь между входной и выходной величинами в системе с переменными параметрами определяется интегральной зависимостью (13.9):

х(1)= ]w{t-,)f(b)dd. о

Предположим, что к входному сигналу / (t) можно применить преобразование Фурье (7.15). Тогда его можно представить в виде (7.16):

2п

Объединяя записанные выше две фор.мулы, получаем

x(t)= \w(t-,b)db- \F(j(a)edoi. 2я

(13.51)

Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным Это отражает тот факт, что входное во;здействие .может начаться в любой момент времени при г < О, в том числе и при t- -оо. Меняя в (13.51) порядок интегрирования и умножая правую часть )ш е е = 1, получаем

x(t)=~ {F(jb))eJ<d(a {w(t-d,-d)e-}-db = - \W(Mt)F(joi}eJd(A (1.3.52) 2л J J - J

Здесь введена частотная передаточная функция систе.мы с переменными (шра-метра.ми

W(Mt)= \w(t-d,Q)e--db.

(13.53)