13.2. Нахождение функции веса

и построение переходных процессов

Функция веса системы с иере.менцыми параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно ио следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе управления, и по ее виду можно судить о качестве управления, аналогично тому, как это делалось для систем с постоянным параметра.ми (§ 8.4). По и.меющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия и склонность системы к колебаниям.

Кроме того, но имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системы при зада1П1ЫХ входных во.здействиях не производя при это.м каждый раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходи.мо иметь сюиряженные функции веса.

Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют решать задачу нахождения функции веса в численном виде. Только для систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систе.му с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описывается уравнением не выше второго шфядка.

Следует заметить, что больншнство систем управления с переменны.ми параметрами относится к так пазьшаемым квазистационарны.м систе.\шм, и системам, нара.метры которых меняются сравнительно .медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания [юрмальной функции веса.

Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными пара.метрами ее уравнение приближенно .можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка

+ P(0 = Q(0. (13.12)

Это уравнение имеет аналитическое решение

xit) = e-[JQ{t)e4t+c], (13.13)

S(t)= jP(t)dt,

а С-постоянная интегрирования.

Пусть, например, имеется уравнение

£ + ,х = /(0. (is-i-o

Определим для него семейство переходных характеристик h {t - в, в) = /г (t, в). Для единичной ступенчатой фупкпии при -дО уравнение (13.14) можно записать в следующем виде:

Приведем его к виду (13.12):

dx fl, 1(с--&) -+-х=---. dt t t

Далее получаем

P(t) = , S(t) = JP(0 dt = Л = a, In г,

Ha основании формулы (13.13) получаем

h{t-x.) = t-

- + C

= - -

При пулевых начальных условиях (для t= Ь) должно быть h (О, Ъ) = 0. Отсюда определяется постоянная интегрирования

Окончательно получаем

h{t-d,b) = -

Дифференцируя последнее выражение гю Ь , можно получить функцию веса:

Э в w(,t - д, в) = --Kt -Ь,Ь)=-

или в ино.м виде:

®(t--e) =

(в + т)

Для дифференциального уравнения (13.12) .можно сразу найти функцию веса из общего реп1ения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смепюпному импульсу Q (г) = Й (t - Ь). Проделав пеобходи.мые выкладки, получаем

w{t-Ь,Ь) = e \ (1.3.1.5)

R{t,b)=\P{t)dt.

PacnjracTpaHHM этот результат па более общий случай .записи дифференциального уравпепия в виде .

(hit)-+ iQ)x=k{t)f{t). (13.16)

Приведем его к виду (13,12):

dxa,Jj (13,17)

dt fl (0 о (О

Положив f {t) = b{t- Ь), получим для функции веса решение в виде

(f-,,e) = -e- (->, (1.3.18)

flo(6)

, ffi(£), ()(0

Рассмотрим снова в качестве при.мера уравнение (13.14). Приведем его к виду (13.17):

dt t f Обратившись к формуле (13.18), находим

/?(f,6)= ldtaln-

и функцию веса

1 -n.ln- З -

w{t-fi,fi)=-e 0 =

что совпадает с полученным ранее выражением.