.7 Л

(dF

ЛГ2 +

Агз -I-

Э.Г,

Дхз +

Дхз +

Дхз +

(3.5)

Aii=9(/. /)-ф(/ о).

Это дифференциальное уравнение, так же как и (3.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене авто.матической систе.мы. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем:

1) это уравнение является приближенным, ибо в процессе его вывода были от-брошетл малые высшего порядка;

2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины х х2, х3, а их отклонения Дг Лх2, ах3 от некоторых установившихся значений х}*, xj, х3;

3) полученное уравнение является линейны.м относительно отююнений Дх Ах2,

АХ2, Ахз, ..., Ахз с постоянными коэффициентами

,..., (или

с переменны.ми коэффициентами, если F содержит t в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется переменными величинами

xf (t), х2 {t), х3 [t), например при программном управлении.

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (3.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Проделав то же са.мое для всех звеньев системы, получим в результате линеаризованные уравнения процесса управления в отклонениях (или, как называют еще, уравнения в вариациях ).

водная от функции f по х после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения , х , О, х ,..., 0).

Следовательно, все частные производные в подученном уравнении (3.4);Пред-ставляют собой некоторые постоя1Н1ые коэффицие}1ты. Они будут переменными во времени, если функция Рсодержит с в явном виде или если установившийся процесс

в системе определяется переменными значениями xf [t], {t), х3 [t].

Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (3.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений Дг ATj, ... с коэффициентами в виде с.ме-ша1шых частных производных и частных производных второго и выспшх порядко]в от функции Fuo всем переменным.

Вычтя из уравнения (3.4) почленно уравнение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звена в виде

В дальнейшем можно будет проводить линеаризацию нелинейных уравнений не-посрсдствепчо по аналогии с формулой (3.5), не производя предварительных выкладок.

Приведем геометрическую трактовку этого способа линеаризации. Изобрази.м фафически зависимость f отх, при постоянных значениях всех остальных переменных:

2 = х2 , х2 =0 , Хз = Хз , Хз = 3 = х3 = О .

Пусть эта зависимость имеет вид кривой, представлепной па рис. 3.2, а. Отметим значение xf и проведем в точке С касательную. Тогда

= tga.

(3.6)

где а - угол наклона касательной в точке c(x{,fj, для которой

Xj -Xi

F = F°=F[xlxlO,xlAO,0

(3.7)

Замена х, =х[ + Ах, и сокращение члена (3.7), производившиеся раньше анастатически, здесь эквивалентны переносу 1шчала координат в точку С (рис. 3.2, а), в результате чего получается график рис. 3.2, б.

Первый член линейного уравнения (3.5) согласно (3.6) означает, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой СВ па касательную к пей прямую CD. Из графика рис. 3.2, б очевидно, что .эта замена тем точнее, че.м меньшие величины отклонения Ах, возникают в исследуемом динамическом процессе (основная предпосылка для липеариазиции); границы отклонений Ахр для которых допустима линеаризация, тем шире, чем ближе кривая СВ к прямой CD. Последпи.м обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те 1раницы, внутри которых отклонения можно считать достаточно малыми .

В ряде задач отличие от линейности, показанное на рис. 3.2, б, бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большем диапазоне отклонений Дх, можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимости линеаризация будет справедлива лишь На соответствующем более узком участке отклонений Дх,. Линеаризация может быть

§ 3.2. О записи линеаризованных уравнений звеньев

В теории авто.матнческого управления в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных (}юрмах.

Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кро.ме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения:

; k2=-

; h=\:

(dF} дх-.

; ,/,(0 = Ф(/./)-Ф(/°,0).

(3.8)

совернюпно недопустимой при скачкообразных зависимостях (например, при релейных харакге1м-1стиках). Такого рода зависимости называются суп1ественпо нелинейными.

Важно отметить следующее. Если по указанным причинам не может быть подвергнуто линеаризации уравнение только одного звена систе.мы или даже только часть функции F для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных не.чи-пейных зависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных.

Второй способ линеаризации. Из приведенной геометрической иллюстрации вытекает другой способ линеаризации уравнений системы авто.матнческого регу.ти-рования, который весь.ма часто применяется на практике. Этот способ заключается в том, что с са.мого начала все криволинейные зависи.мости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (но касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными.

В иоследуюпшх главах разделов II и III будут исиользоваться липеаризовапные уравнения динамических звеньев. Однако для унронюния записи значок А перед неременными Ai(0> A2(t) и т. д. будет опускаться в предположении, что эти переменные представляют собой малые отклонения от некоторого установивп1егося состояния и линеаризация уравнений уже проделана.