Подставив полученные значения в формулы разложения, находим зависимость между коэффициентами основного уравнения. Если Bj задано, то

(12,15)

-Bl. (,2Л6,

Эти.соотношения должны реализоваться ири проектировании системы управления.

Корни основного уравнения

Pl=-A (12.17)

Р2.з=-1±;--1- (12,18)

Выбор уравнения для описания основной составляющей переходного процесса зависит от структурной схемы проектируемой системы.

Рассмотри.м теперь связь между основной и дополнительной составляющими переходного процесса для задащюго затухания (8.40). Для этой цели полезно представить характеристическое уравнение (12.1) в тако.м виде:

p AQop -+A2QoP ~ +... + Q o -О, (12.19)

где Qq ~ произвольно выбранный среднегеометрический корень. Л Л , - безразмерные коэффициенты.

Записанное в такой форме уравнение третьей степени принимает вид

рЧл,йо/ +2оР + о=0, (12.20)

Разлагая его на множители, находим

(р + С){р + Вр + В2) =0. Соотношения для коэффициегггов:

Л,йо=С1 + В (12.21)

A2QlI = B2+CB, (12.22)

Qg=C,B2, (12.23)

Введем коэффициент а и положим

В, =аЛ,Оо- (12.24)

Тогда

С, = (1-а)Л,о, (12.25)

= К Щ = kAQ.. (12.26)

Подставив полученные значения коэффициентов в формулы (12.22) и (12.23). можем записать:

откуда

A2=\\-a{\-k )]aAl (12.28)

Таким образом, безразмерные коэффициенты Л, и Л2 являются функция.ми критерия переходного процесса k, зависящего от желаемой степени затухания и коэффициента разложения а, определяюniero соотношение постояшгых времени затухания отдельных составляющих.

При а= имеем 91 = } ЛЛ, т.е. С, й

, отношение постоянных времени

3 й, (3 2 2

=- и Г =- оудет - = -- = 1. С, 2 Г 2С,

Следовательно, обе составляющие переходного процесса затухают с одинаково!!

скоростью.

Лиалогичны.м образо.м .можно получить выражения для коэффициентов характеристического уравнения четвертой, пятой и более высоких степеней [85].

Синтез системы управления начинается с того, что для вь!браипой структурной схемы и введенных корректиру!Опи1х средств находится характеристическое уравнение. Затем варьируются нара.метры основного канала и корректируюпшх средств таким образом, чтобы получить требуемые значения ко.эффициентов характеристического уравне!1ия (12.1) или (12,20).

Этот метод оказывается достатоЧ!10 эффективным в с.тучае сравнительно невысокой степени характеристического уравпепия (и 2 -н 4). В более сложных случаях обеспечить требуемые значения коэффициентов характеристического уравнения ока-;Н)1вается затрудпитсль!1о, так как !1екоторые параметры системы и К0)ректирую!цих средств могут влиять сразу иа несколько коэффициентов характеристического уравнения.

Недостатком этого метода является также то, что необходимо задаваться видом корректируюиатх средств. Поэтому получаемое решение будет во многом зависеть от опытности проектанта.

Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмуптающего воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях.

Передаточная функция замкнутой системгл

Ф(Р)= .-i-(12.29)

оР +а\Р +... +

Полюсы передаточной функции, т. е. корни знаменателя, обозначим через Р],Р2> р , а ее нули (корни числителя) - через р, р\,..., р.

Коэффициенты числителя и зпа.мепателя (12.29) определенным образом выражены через пара.метры объекта, управляющего устройства и корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра Р (ностоянная времени, коэффициент усиления и т. п.), входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных 1шра-метров, а для искомого парамет])а Р задавать ра.зличные числовые значения Р], Pv. - Pi внутри реально во,змож1!Ых пределов изменения этого параметра в данной систе.ме. Для каждого из этих вариантов необходн.мо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней.

§12.3. Метод корневых годографов

Качество системы управления с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т, е. расположением нулей и полюсов передаточной функции (§ 8.5).

Зная эти корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости корней. При {)асчете системы целесообразно проследить, как меняется общая картина расположения корней при изменении отдельных параметров, например коэффициента передачи разомкнутой систе.мы, постоянных времени корректирующих цепей и т. п., с целью установления оптимальных значений этих параметров.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться па плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которую будем называть корневым годографом или траекторией корней. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемого параметра, которое соответствует наилучшему расположению корней.

Первый способ построения траекторий корней заключается в следующем. Пусть и.меется дифференциа.мьпое уравне1гие замкнутой системы (5.3), записанное для управляемой величины при наличии задающего воздействия:

D{p)y{t) = B{jy)g{t\

D(p) = оР + + - + . В{р) = - b.p + ... + b