§ 12.2. Корневой метод

Наиболее простой корневой метод разработан Т. Н. Соколовым [85]. Сущность его сводится к следующему

Пусть имеется характеристическое уравпени > систе.мы

р + А,р -т...+А 0. . (12.1)

В соответствии с изложенным в § 12,1 рассматривается только .задача получения приемлемых динамичи-ских качеств при ладанном значении коэффициента, т. о. последнего члена характеристического уравнения.

Решение первой задачи в большинстве случаев сводится к определению требуемого общего коэффициента передачи разомкнутой системы и, в случае необходимости, - вида корректируюи1ИХ средств, повышающих точность систе.мы (ко.мбиниро-ваппое управление, изодромпые механизмы и т. п.). Эта задача может решаться при помощи определения ошибок в типовых режимах иа основе тех критериев точности, которые были изложены в главе 8. Решение этой задачи, как правило, пе сопряжено с трудностями прииципиальпого или вычислительного характера, так как критерии точности достаточно просты для их практического использования. В сложных случаях можно прибегать к homohui моделирования. Решение оказывается сравнительно простым вследствие необходимости установления значений относительно небольшого числа параметров. В простейшем случае необходи.мо найти только коэффициент нередачи разомкнутой системы.

Penienne второй задачи - обеспечение приемлемых переходных процессов - оказывается почти всегда более трудным вследствие большого числа варьируемых параметров и многозначности реп!ения задачи демпфирования систе.мы. Поэтому существующие инженерные методы часто ограничиваются реп!ением только второй задачи, так каких авторы считают, что обеспечение требуемой точности .может быть достаточно просто сделано на основании исполыювания существующих критериев точности и соверп!енствовапия их практически ие требуется.

В настоящее время для целей синтеза систем автоматического управления широко используются вычислительшлемапшны, позволяющие производить полное или частичное .моделирование проектируемой системы. При таком моделировании становится возможным наиболее полно исследовать влияние различных факторов пе-липейпости, зависимость параметров от времени и т. п.

Однако моделирование на вглчислительпых мапшнах пе может заменить расчетных методов проектирова]н1я, которые во многих случаях позволяют исследовать вопрос в общем виде и среди многих решений пайти оптимальное. Поэтому, несмотря на развитие и распрострапение машинных методов синтеза, теория должна располагать собствепны.ми методами, которые дополняли бы моделирование и являлись бы теоретической базой при отыскании оитима..1ьного решения.

из (12.3) можно получить

B2=B = k,Bl (12.4)

Множитель определяюпщй соотпошение между коэффициентами основного множителя характеристического уравнения, является критерием переходного режима, .зависяникм от выбранной степени затухания. Фор.мула (12.4) показывает желаемое соотнон!ение между коэффициентами характеристического уравнения, к которому надо стремиться при проектироваиии системы. Это должно осуществляться введением различных корректирующих средств.

С точки зрения скорейшего затухания нереходпого процесса важно, чтобы веше-стве1пп)!е части всех корней характеристического уравнения были наибольпнгми. Сумма вещественных частей всех корней численно равна первому коэффициенту характеристического уравнения (12.1). Поэто.му при заданной величине этого коэффициента наивыгоднейшие результаты получаются при равенстве вептественных частей всех корней. Однако расчеты и исследования построеппых систем показывают, что стремление удовлетворить поставленному требованию приводит к совершенно нереальным конструктивным характеристикам отдельных звеньев. Эти расчеты и исследования показывают, что из общего числа корней характеристическо1-о уравнения всегда можно выделить два или три корня с .меньп!ей по абсолютно.му значению вещественной частью, которые и определяют ход основного процесса. Остальные же корни характеризуют быстро затухающие составляющие, оказывающие влияние только па начальной стадии переходного процесса.

Примем, что основной характер переходного процесса определяется двумя корнями. Тогда уравнение (12,1) удобно представить в виде

ip -- + С,р + ... + С ,.2) {р + В,р + в,) = 0. (12.2)

Второй сомножитель (12.2) н будет определять основной характер процесса.

Для уменьнюпия погрешностей проектируемой системы важно, чтобы коэффициент 2 i* основтюм множителе имел возможно большую величину. Однако чрезмерное увеличение В2 приводит к колебательному характеру переходного процесса.

Опти.ма7П)Ное соотношение между коэффициентами В,и В2 определяется из условия получения затухания за один период = 98%, которому соответствует выражение (см. § 8.5)

а . 1 ,1 .

271-= In-= п-= 4, (]2ъ

р 1- 0,02 >

где а и Р - вещественная и мнимая части комплексного корпя, характеризующего основной ироцесс.

Учитывая соотношения:

Из (12.3) можно также получить требуемое соотношение между мни.мой и веше-ственной частя.ми корня (колебательность):

р = - = 5 = 1,57. (12.5)

а 2

В ряде случаев для описания осиов}К)го переходного процесса оказывается более целесообразным воспользоваться уравнением третьей степени

+ ВрBj) +5з = 0. (12.6)

Это уравнеиие можно представить в виде

(p + C )(p2 + /i p + i?2i) =0. (12.7)

Между коэффициентами уравнений (12.6) и (12.7) имеют место соотношения:

Bi = Ci, + S,i. 2 = С йп + Й2 В=С В . Положим, что во втором .множителе (12.7) по-нрежпему

В-п=В1 (12.8)

Поэтому корни характеристического уравпепия (12.6) и (12.7) равны:

Pi = -C , (12.9)

P2,3=-±;f-f- (12.10)

Так как вещественная часть корней должна быть возможно большей, то целесообразно задать

Си= (12.11)

и, следовательно,

В =в (12.12)

C =l/i (12.13)

В,=В1 (12.14)

2 36