3 1

= lim- x\t)dt (11.129)

Т оо 2.1 .

практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой величиной, что и определило использование этого критерия.

Возможны несколько формулировок задачи. Наиболее просто задача может быть сформулирована так. Если имеется какая-то система автоматического управления заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки ири заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи.

Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путе.м ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного си-нала, помехи и пара.метров системы. Затем ищутся условия, которые должны быть наложены па параметры системы, чтобы получить минимум диснерсии. При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено иепосредственны.м дифференцированием и приравпи-вапие.м нулю частных производных.

В более сложных случаях приходится искать минимум диснерсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков, а также расчетом на ЭВМ.

Другая постановка .задачи if ри расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений пара.метров автоматической системы, П1)и которых обеспечивается 1Голучеиие теоретического ми1Гимума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и по.мехи. Эта задача будет решена, если найти, нанри.мер, передаточную функцию за.мкнутой системы Ф (/со), при которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки. Задача относится к категории вариационных задач. Приведем .здесь некоторые результаты ее ранения [ 88 ] для случая, когда полезный сигнал g (О и помеха /(О представляют собой цеитрироваппые стационарные случайные процессы, при-

ния полезного сигнала система должна иметь возможно больп1ую полосу пропускания, а с точки зрения наилучпюго подавления помехи система, наоборот, должна иметь возможно меньшую полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет мини.мальпое значение результирующей оцшбки систе.мы, определяемой полезным сигналом и гго.мехой.

Для случайных величин наиболее просто определить средпеквадратичггую ошибку, поэтому ее и используют для опенки точности авто.матической систе.мы.

Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи.

Согласно этому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату се всличипы. Такая постановка является часто логичной, ио она не может, конечно, претендовать на полную универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, большие некоторого значения, являются одинаково нежелательными. Однако средний квадрат ошибки системы управления

ложенные иа входе системы. Перед системой ставится задача преобразовывать входной сигнал g (t) так,- чтобы на ее выходе воспроизводилась величина h (t), связанная eg (О некоторой формулой преобразования

L\h(l)] = H(p)L[gm

где Н{р) - преобразующий оператор.

Так, например, при Н (р) = \/р получится задача интегрирования входного сиг-на.;1а, при Н (р) = р - задача дифференцирования, при Н {р)=\ - задача простого воспроизведения со сглаживанием помехи (обычная следящая система при наличии помех), при Hip) еР - статистическое упреждение (предсказание) и т. и.

На основании изложенного он[ибку систе.мы можно представить в виде

Выходная величина системы управлепия

(11.130).

(11.131)

где ф (t) = g{t) +f{t), а да (г) - весовая функция замкнутой системы. Подставляя (11.130) и (11.131) в формулу (11.129), получаем

х = lim

7--*~2Г -,.

h{t)- f ф(-т)да(т)й?т

(11.132)

Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцию замкнутой системы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье

Ф(уш)= да(Ое А,

(11.133)

таким образом, чтобы минимизировать значение х.

Раскроем в выражении (11.132) скобки и из.меним порядок интегрирования:

x2 = lim- \h{t)dt-2 \w{X)dX\im- \h{t)-X)dt- г 2Т Jj. T27 j.

bi!(X)dX jw(v)dv\un- (p(t-X)(p(t-v)dt.

(11.134)

Введем корреляционные функции:

Rh(t)=\m \h(t + x)h(t)dt.

(11.135)

(11.136)

/?,(T) = .liim- /г(Г + т)ф(ОЛ = /iAg(T)+/i y(T).

(11.137)

Эти.м корреляционным функ1щям соответствуют спектральные плотности 5/, (со). 5(co),5,(co),5/(co),5(co),5yg(co),5;,(co) и 5;,/(со). Кроме того,

lim- jh(t)cIt = R,{0). В результате выражение (11.1,34) можно преобразовать к виду

x=RiO)~2 jw(X)Rf,(X)dA+ jz0(X)dX fw(v)R(X-v)dv. (11.138)

Так как в реальных системах w (г) = О при i < О, го нижние пределы интегрирования в (11.138) надо положить равными пулю. В результате получим

х = R (0)~2]zv{X) R {X)dX + ]ze!(X)dx]w{v)R{X-v)dv. {ПЛ39)

Из последнего выражения видно, что опти.мальная весовая функгщя, соответствующая .мини.му.му среднего квадрата оптбки, определяется только видом корреляционных ({пункций полезного сигнала и помехи.

Можно показать [88], что необходимое и достаточное условие минимизации выражения (11.139), которое должно быть наложено на весовую функцию, заключается в том, чтобы она была решением интегрального уравнения Винера-Хопс))а

Rh(T)- lRiT-X)zc4X)dX = 0, т>0.

(11.140)

Оптимальная передаточная с))ункция (11.133), соответствующая оптима.льной весовой функции, являющейся реп1епием уравнения (11.140), может быть представлена в виде

ф(,и) =-\-Аф(;<о, (И 141)

Ч Ош) * (jw) = F 0со)Р = 5 (ш).

(11.142)