too

:=V/)=-f5,.(C0)u?C0. (11.121)

Вычисление дисперсии и среднеквадратичной опшбки через корреляционные функции может производиться на основании формулы (11.107). В качестве функции веса в рассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки да (t), связанная с частотной передаточной функцией по оптбке преоб{)азованием Фурье

Ф,(;со)= j4(0fr ?f.

После нахождения корреляционной фупкпии ошибки R. (т) дисперсия определяется подстановкой т = О, т. е. 7) = (0).

Однако нахождение среднеквадратичной оитбки посредством иаюль-зования спек-TpajH>Hbix п;к)тностей ока;5Ьшается обычно более простым и поэтому применяется чаще.

В другом простейшем случае, когда задающее воздействие(0 = О, а помеха представляет собой случайтлй стационарный нрсщесс со спектральной плотностью 5/(со), анаюгичны.м образом можно найти спектральную плотность ошибки:

5;.(со) = ФОа))рЗ>(со). (11.122)

ошибки X (О- Обычно ограничиваются более узкой задачей и определяют только среднеквадратичную 01нибку системы. Это .может быть сделано посредством интегрирования по всем частота.м спектральной плотности опп-гбкн или через корреляционную функцию ошибки X (i).

В простейшем случае, когда задающее воздействие g(f) представляет собой случайный стационарный процесс со сцектра.н>ной плотностью Sg (со), а помеха отсутствует: /(t) = О, расчет можно свести к рассмотренной выше схеме (рис. 11.25). Тогда спектральная плотность опнгбки будет

5,(а)) = Ф,(/со)р5(со). (11.119)

Частотная передаточная функния по ошибке (/со) связана с частотными передаточными функциями разомкнутой W(jia) и замкнутой Ф (/со) системы соотношением

1 + W()(i))

Таким образом, для спектрыьной плотности ошибки получаем

5., (со)

Интегрирование этого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию и среднеквадратичное значение ошибки:

В этом выражении Фу (;со)представляет собой частотную передаточную функцию:

Фу(7Ш) =

F(p)

pJUt

связывающую изображения Фурье ошибки х (t) и помехи/СО-

В частном случае, когда помеха / (t) действует пи входе системы в месте приложения задаюн1его воздействия, в формуле (11.101) должна использоваться частотная передаточная функция .за.мкнутой систе.мы:

g(0 x{t) -- W(p)

yit)

Рис. 11.26

y(.t)

5,(ш) = Ф(;ш) .9Дсо) =

5Дсо).

(11.123)

Рассмотрим теперь общее выражешге спектральной плотности ошибки для случая, когда задающее вогадействие g (t) и помеха /(С) действуют одновременно (рис. 11.26),

Обозначим через (t) весовую функцию для ошибки по задающему воздействию и через ze!j-(t) весовую функцию для ошибки но помехе. Тогда ошибку можно представить в виде

x(t)= \g{t-X)w(X)dX+ \f(t-X)w(X)dX.

(11,124)

Подставим это выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим

й(т)= lim-

т ~

dt \g{t + T-r\)z0(y])dr\ \g(t-X)w.(X)dX +

-то о

dt \f(t + T-T;\)Wf(r\)dr\jf(t-X)Wf(X)dX

-т о г

dt g(t + T-y])z0.(r\)dr\ f{t-X)wj(X)dX +

-т о г

dt jg{t-X)ze)(X)dXJf{t + T-r])ze;f{r])dj] .

-T 0

Отсюда находим /?,(т)= IdX { ;ДА)/е(т + А-л)да,(л) + ге/(А)/?/(т + А-л)ш(Л) + +дау (т + А - л (Л) + W% (-с + > - Л)г /(Л)}й?Л.

(11.125)

где RiO и Rfg (О - взаимные корреляционные функции.

Для нахождения спектральной плотности опшбкрг левую и правую части (11.125) умножим на е и проинтегрируем по т от -оо до +оо. в результате выкладок, анало-гичных тем, которые были проделаны при выводе формулы (11.111), получим

5 (со) = Ф, (ico)f 5g ((0) + Фу (;со)5/со) + (;со)5у,((о)Ф; (;со) +Ф*.(;со)55(со)Фу(;со).

(11.126)

В этом выражении 5g/-(co) и Sj-g (со) представляют собой взаи.мные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а (/со) и Фу (/со) частотные передаточные функции для ошибки но задающему во.здействию и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс,

При отсутствии корреляции .между полезным сигналом и помехой формула (11.126) упрощается:

5,(м) = Ф,( 5 (сй)+фу (;co)f 5у(со).

(11.127)

В частном случае, когда помеха действует на входе в .месте приложения задающего воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в следующем виде:

.v (W) = Фл- (7 )f Sg (со) + Ф(7Со) Sf (со) -

l + U(ico)

5.(со) +

1(7Ш)

UW(jo3)

5/(со).

(11.128)

так как для .этого случая частотная передаточная функция Фу (/со) совпадает с частотной передаточной с{)ункцией замкнутой системы Ф (/со).

Все нриведен1Н)1е выше формулы для спектральной плотности ошибки х (t) могут быть легко переписаны для спектральной плотности выход1юй величины у (t), если в них заменить частотную передаточную функцию для ошибки Ф. (/со) на частотную передаточную функцию замкнутой системы Ф (/со) = 1 - Ф,. (/со).

§ 11.9. Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки

Если на авто.матическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача опти.мального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведе-