(11.110)

Найдем теперь спектральную плотность для выходного сигнала. Она связана с корреляционной функцией соотношением (11.65):

52(ш)= \R2(x)e- dx.

Подставляя в последнюю формулу значение корреляционной функции из (11.110), получаем

52(ш)= jdx jdX jeJ w(ц)w(X)Rl(x+X-(])dц =

= jdx jdX

(11.111)

fe(ri)e Vn jw(X)edX jR(x + X-ц)e-j-dx

о -оо -оо

= WiMWi-jay)] R, (x)e-dx = lV(;co)f 5, (ш).

Последнее выражение совпадает с (11.109), что и требовалось доказать. Для нахождения дисперсии, или среднего квадрата выходной величины 1геобходи.мо проинтегрировать по всем частотам спектральную плотность:

= D, =

J52((0)rfM= \S2{2nf)df.

(11.112)

Отметим, что закон распределения для случайной величины может, Boo6nte говоря, .меняться при прохожде1П-1И ее через линейную систему. Однако в случае, если

стотной передаточной функции линейной системы. Отметим, что приведенное вынк доказательство, вообще говоря, не является строгим, так как сун1ествование стационарного случаЙ1Гого процесса на выходе ire доказано.

При известной спектральной плотности 52 (м) выходной нсличптя может быть найдена корратяциоиная функция /?2 (т) по преобразованию Фурье (11.66) или (11.68).

Получи.м выражение (11.109) более строго. Для этого используем формулу (11.107). Так как в реальных системах весовая функция тождественно-равна нулю при 1<0, то нижние пределы интегрирования .можно положить равны.ми -оо. Полагая, что на входе действует центрирова1Шый процесс (х = 0) и /?, (т) = fif (т), имеем

иа входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины X, (t), то на выходе для случайной величины Xj (t) также будет иметь место нормальное распределение.

При вычислении интеграла (11.112) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выражением вида

Л(7Ш)]

где А (;ш) и В (/to) представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной j(X>.

Наивысшую степень знаменателя обозначим 2п. Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть на выше 2п - 2. Для удобства итггегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде

А Ом) = о + 1 (/to) + + . О (/-со) = (J(f + (; м) + ... + Ь ,.

Полипом G содержит только четные стенени/со. Полином А для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка/) =;со, а множитель ; означает поворот комплексного числа на угол п/2.

Таким образом, вычисление дисперсии (11.112) можно свести к нахождению интеграла

J А( ii

G(j(X))d(X) 1 7G(j(i))d(X)

2п 1А(]ш)А(-]ш) 2tz 1\ A{jia)\

(11.113)

В общем случае при любом п для устойчивой системы интеграл / может быть представлен в виде [ 29 ]:

1 М

(11.114)

М =

и-1

6о А, 2 k

О 22 а, О

О а, з ... о

О О О ... а

(-1) . (11.116)

Интегралы такого вида вычислены до и = 7 и сведены в таблицы (см. приложение 1).

Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в приложении 1 формул представляет собой Д ,- - определитель Гурвица. На колебательной границе устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности.

В заключение рассмотрим два важных случая прохождения случайного сигнала через линейную систему.

Статистическое дифференцирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное дифференцирующее устройство с передаточной функцией W(р) =/) спектральная плотность выходной величины (производной от входной величины) .может быть получена умножением спектральной плотности входной величины 1Ш

52 (со) = 0)2 5, (со), (11.117)

при двойном дифференцировании - па (а и т. д.

Статистическое интегрирование. При поступлении случайного сигнала на идеальное интегрирующее звено с передаточной функцией W (j)) = 1/р спектральная плотность выходной величины (интеграла от входной величигия) .может быть получена деление.м интегральной плотности входной величины на w:

2(0)) = (11.118)

при двойно.м интегрировании - на ш и т. д.

§11.8. Расчет установившихся ошибок в автоматических системах

Замкнутая система автоматического управления может находиться под воздействием случайного задающего cигнaлag(0 и случайной помехи f (t), приложенной в произвольной точке системы (рис. 11.26).

Корреляционные функции и спектральные плотности задаюи1его во.здействия и помехи буде.м считать известщями. Конечной целью расчета является нахождение корреляционных с}5упкций и спектральных плотностей выходной величины у (t) и

совпадает с точностью до знака со старшим определителем Гурвица, а числитель определяется выражением