собственной частоте колебаний. Получающееся при этом случайное движение об1)екта называют нерегулярной качкой в отличие от регулярной качки, представляющей собой периодическое движение.

Типичный график нерегулярной качки и.зобра-жен на рис. 11.23. Из рассмотрения этого графика видно, что, несмотря на случайный характер, это движение довольно близко к периодическому.

В практике корреляционную функцию нерегулярной качки часто аппроксимируют выражением

/?(t) = De icosPT,

где Р - резонансная частота, р - параметр затухания, D - дисперсия.

Значения D, р и Р находятся обычно путем обработки экспериментальных данных (натурных испытаний).

Корреляциотюй функции (11.82) соответствует спектральная плотность (см. табл. 11.3)

(11.82)

5(co) = plD

р4(Р-со)2 р4(Р + а))2

2a{{ + bii?)D ]. + aj(a+b(j(iiy

(11.83)

Неудобством аппрокси.мации (11.82) является го, что этой формулой можно описать поведение какой-либо одной величины нерегулярной качки (угла, угловой скорости или углового ускорения). В этом случае величина D будет соответствовать дисперсии угла, скорости или ускорения.

Если, например, записать формулу (11.82) для угла, то этому процессу будет соответствовать нерегулярная камка с дисперсией для угловых скоростей, стремящейся к бесконечности, т. е. это будет физически нереальный процесс.

Более удобная формула для аппроксимации угла качки

R(x) = D,e

Соответствующая спектральная плотность

co.sPT + .sinP

(11,84)

5(со) = Ое

2Р-С0

2р + со

ц4(Р-со)2 р4(Р + со)2

2aD.

l + aj(xi+b(j(xiy

2

(11.85)

Здесь Do - дисперсия для угла, а = 2р (р + р) \Ь = (р + р) При такой аппроксимации дисперсия для угловой скорости получается конечной: А, = (ц2 + р2)

Однако и эта анироксимация соответствует физически нереальному процессу, так как дисперсия углового ускорения получается стремяп(ейся к бесконечности.

в о

Рис. 11.24

Д.!я получения конечной дис-нерсии углового ускорения требуются еще более сложные формулы анпрокси.мании, которые здесь не приводятся.

Типичные кривые для корреляционной функции и спектральной плотности нерегулярной качки приведены на рис. 11.24.

§ 11.6. Канонические разложения случайных функций

Элемепта)пой случайной функцией называется функция, которая может быть представлена в виде

X (О = Хф (О,

(11.86)

где ф (() - некоторая известная неслучайная функция времени (синусоида, экспонента, степенная функция и т. п.), х - случайная величина.

Если математическое ожидание величины х равно нулю, то и математическое ожидание случайной функции М \х (t)] = 0. Корреляционная функция в этом случае

Rit,t,) = M\x(pit)x(p(t,)] = Оф(0 ф(г1),

(11.87)

где дисперсия D = Л7 x.

Рассмотрим случайную функцию х (t), которая может быть представлена в виде суммы математического ожидания х (t) и элементарных случайных функций:

x(t) = x(t) + Y,V,x,(t).

(11.88)

Здесь - случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием.

Представление случайной функции в виде суммы ее .математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций называется каноническим разложением. Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разложения, а функции х (t) координатных функций.

При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайны.ми функциями (дифференцирование, интегрирование, решениелинейныхдифференциа7п>ныхуравнений ИТ. п.). Так, например, производная от (11.88) будет

dx(t) dx{l) Yy

(11.89)

Аналогичным образом интегрирование (11.88) даст

jx(t)dt = jx(t)dt + Y,V jx,(t)dt. (11.90)

Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют ра.зличиые методы [80J.

Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция

R(t,t,) = M\x(t)x(t,) 1 = [mf + Xvv (Ov (1 ) (П .91)

Здесь = M[V] - дисперсии коэффициентов канонического ра.зложения.

Таки.м образом, корреляционная функция может быть выражена через те же ко-ординат1Гые функции.

Для стационарной случайной функции, заданной в интервале -Г < t < Т, разность 1 = 1-1 из.меняется в интервале -27< т < 2Ги ра.зложеиие корреляционно!! функции .может быть задано в виде ряда Фурье:

/?(т)= £ /VV=(I-)4:2D,costo,t, to,=, (11,92)

V = -oo v = l 2/

где V - целые числа.

Этому выражению соответствует каноническое разложение самой случайной функции

оо оо

х{1) = х+ X KeV=x + 5](X,costo,t+y,sina)/), (11.93)

V:=-c=o v-0

гдеХу и взаимно некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями 0,5Dy. В разложении (11.92) должны отсутствовать нечетные га1)Моники. Тогда ряд (11.93) будет содержать только четные гар.моники, что соответствует периоду 2Г(иитервалу -Т< t<T).

Если разность между двумя соседними гармониками Дш=:ш,.] -ш ~ 2Г мить к нулю, что соответствует Г-> оо, то формулу (11,92) можно представить в виде

/?(т)= lim У eVAoj = -i-y5(oj)e>Voj, (11.94)

Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см. § 11.5)

5(ш)= lim \im ATD,.

являющаяся изображением Фурье корреляционной функции R (т).