где спектральная плотность (ш) соответствует процессу (х - х)\ и, следовательно,

где D - дисперсия.

Аналогично введепно.му понятию взаи.м-иой корреляциоииой функции (11,53) могут рассматриваться взаимные спектральные плотности Sy (ш) и 5,. (со), являюн(иеся изображениями Фурье Н (т) и R- (т). Взаимные спектра.тьные плотности также являются мерой связи .между дву.мя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Для постоянной величины x(f) = Лр корреляционная функция равна R(x) = A. Эта функция изображена па рис. 11.17, а. Соответствукнцее ей изображение Фурье на основании табл. 11.3 будет

5(со) = 271Л?5(со)

или, в друго.м виде.

5(27г/) = Ло8(/).

Спектр процесса состоит из едипствеиного пика тина импульсной функции, расположенной в начале координат (рис. 11,17, 6).

Это означает, что вся моп(Ность рассматриваемого процесса сосредоточена па нулевой частоте, что и следовало ожидать.

2. Для гармонической фупкциихЛ, sin (ш,? + \Т) была получена корреляцион-

пая функция Р(х) = -~-с.о?,щх. Эта функция изображена иа рис. 11.18, а, В соответствии с табл, 11.3 спектральная плотность будет

5(ш) = 2л-5-[5(ц) - ш,) + 8(ш+ш,)]

ад = [8(/-/,) + 8(/+ /,)].

График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, 6), расположенные симметрично относительно начала координат при ш иш= - ш,.

-coi о

S С5((й СО])

х(0 = Л) + Z* sin(w + vt), спектральная плотность может быть представлена в виде

5(0)) = 271- Ло8(а)) + [8(ю - (о) + 8(a)+о)) ]

S{f) = ЛЫ/) + Х[8(/ - Л) + 8(/ + Л)].

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис, 11.19) с импульсными функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показашз! пропорциональными коэффициента.м при единичной импульсной функции, т. е. величинам а1 /4 и л.

Если функция времени х {I) кроме иериодической части будет содержать непериодическую составляюп1,ую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых нериодичностей.

Если функция времени х (t) не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.

Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, имеющие значение при исследовании систем управлепия. Будем рассматривать только центрированные

-а)з-С02 -СО) О

coi сог >3

Следовательно, мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах: ю, и -Ю] (или соответственно/] и -/,).

Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся монпюсть гармонического сигнала будет сосредоточена на одной фиксированной частоте: +0)] или + /(

3. Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье

процессы, т. е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю: х = О, а дисперсия ОфО. При этом средний квадрат случайной величины будет равен диснерсии:

? = D = о, а /? (X) = 7?° (X).

Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае хфО учет постоянного смещения в системе управления является элементарным.

1 . Б е л ы й шум. Под белым шу.мом понимается случайный процесс, и.меющий белый спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от -оо до -I-00 (рис. 11.21, а):

5(ю) = ЛГ.

(11.71)

5(т)

Рис. 11.21

Пример такого процесса - тепловые шумы резистора, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на это.м резисторе

N=ARkr,

где R сопротивление, k = 1,.37 х 10 Вт с/1 - постоянная Больцмапа, Т - абсо-лктгая температура.

На основании (11,68) спектра.,чьпой плотности (11.71) соответствует корреляционная функция

1 °г

i?(T) = - Лсо5ЮХйгю = Щх),

(11,72)

Таким обра.зом, корреляционная функция представляет импульсную функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс является чисто случайным процессом, так как из графика корреляционной функции видно, что при любом zo отсутствует корреляция между последующими и предыдуп(ими значениями случайной величины X

Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически пере-альпы.м, так как ему соответствуют бсскопсчпо большие дисперсия и средний квадрат случайной величины: D = х = R (0) °°, а следовательно, бесконечно большая мощность.

Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шу.ма с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):

5(0)) = ЛГпри ! ю I < ю ,

5 (ю) = О при I ю I < ю ,

(11.73)