318 Непрерывные линейные системы автоматического управления

Правая часть (11.60) представляет собой средний квадрат рассматриваемой величины X (О-

Вводя обозначение

\im ]\FUui)\=S{ui), (11.61)

.можно переписать формулу (11.60) в виде

5((й)й?(й = дг2 (11.62)

2л или в виде

S(2Kf)df = x\ (11.63)

Величина 5 (ш) или 5 (2я/) носит название спектральной плотности. Важным свойством спектральной плотности является то, что итгтегрирование ее по всем частотам от -оо до +00 дает средний квадрат исходной функции времени х (t).

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мопщости процесса в гттервале частот от со до со + dm.

В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что .можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты. Тогда, например, формула (11.62) должна быть занисапа в виде

5о((й)й?(й = [5(сй)сй = ?. (11.64)

где Sq (со) = 25 (со) - спектральная плотность для положительных частот.

В да;нн1ейшем изложении будет рассматриваться спектральная плотность, соответствующая всему диапазону частот от -оо до +°°, так как при этом формулы получают более си.мметричный характер.

Весь.ма важны.м обстоятельство.м является то, что спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье, т. е. они связаны интегральны.ми зависимостями типа (11.54) и (11.55). Это свойство приводится без дока.зательств [88].

Таким образо.м, могут быть записаны следующие формулы:

5(сй)= \ R(T)e-J dx, (11.65)

/?(т) = - [5(co)e Vco. (11.66)

Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (11.65) и (11.66) представляют в более простом виде:

5(co) = 2J/?(t)coscotu/t, (11.67)

R(T) = - f5(w)coscoTJw. (11.68)

.Это вытекает из того, что имеют место равенства:

и мнимые части могут быть отброщеиы после подстановки в (11.65) и (11.66), так как слева стоят вещественные функции.

Связь .между спе1сгра.1ЬНой плотностью S (со) и видом функгнпа времени ;г (t) заключается в том, что чем уже график спектральной плотности (рис. 11.16, а), т. е. чем меньшие частоты представлены в спектральной плотности, те.м .медленнее изменяется величина х во времени. Наоборот, чем шире график спектральной плотности (рис. 11.16, б), т. е. че.м большие частоты нредстав;1ены в снектралыюй плогности, тем тоньше структура функции х (г) и тем быстрее происходят изменения .г во времени.

Как видно из этого рассмотрения, связь между видо.м спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью .между корреляционной функцией и самим процессом (рис. 11.14). Отсюда вытекает, что более широко.му графику спектральной плотности должен соответствовать более узкий график корреляционной функции и наоборот.

Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотноше1Н1ю (11.61), так как это связано с трудностью предельного перехода. Обычно спектральная плотность вычисляется по известной корреляционной функции при помощи формул (11.65) или (11.67). Эти формулы соответствуют так пазывае.мому двусторо1Шему преобразованию Фурье четной функции времени R (т).

В табл. 11.3 даны некоторые функции R (т) и их изображения Фурье S (со) в соответствии с (11.65) и (11.67), В таблице используются импульсные функции 6 (т) п 6 (со). Эти функции, в отличие от импульсных функций, рассматривавшихся в главе 4, являются четны.ми. Это означает, что функция 6 (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть онределена следующим образом;

е О .

6 (т) = О при т / О и б(т)й?т = j 6(т)й?т = - для всех е > 0.

Таблица 11.3. Двустороннее изображение Фурье четных функций

№п/п

Оригинал

Изображение

6(т)

27t6 (ш)

sin QI т I

cos Пх

к [6(ю - П) + 6(ю + П)]

sin (Пт + \;)

J cos V/+ it[8(M - П) + б((й+й) 1 sin \/

e-°ilsinQiTi

й-со

й + со

e- llcosfiT

г + -

аЧ(Й-со) аЧ(й+(й)2

е ) cosiiT

Аналогичное определение относится к функции 5 (со). Иногда в рассмотрение вводят нормированную спектральную плотность, являющуюся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (11.52):

а(о}) = -

.Чсо)

- ] 5 ((0)(0

(11.69)