2. Для гармонической функции х (г) = Л, sin (ш, \/,)

+Т .2

R(t)= lim - Л, sin(a)]!-(-\/,)/i, sin(a),r-(-a)iT-(-\/,)fif! = -;i-cosa),T.

Появление в корреляционной функции члена вида -cosa),T указывает на наличие в случайном ироцессе скрытой периодичности, которая может пе обнаруживаться при первом взгляде иа отдельные записи реализации случайного процесса.

3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье:

(0 = -4о + £лз1п((0? + М/), имеет иа основании изложенного выше корреляциоппую функцию вида

со 2

/?(т) = Ло4Х-=о5(от.

К=1

Типичная корреляционная функция для стационарных случайных процессов при J = О, а следовательно R (т) = ¥ (т), и при отсутствии скрытых периодичностей имеет вид

/?(т)= /?(0)е l l = De- l i.

Иногда встречается корреляционная функция вида

/?(т) = /?(0)e- llcospT = De llcospT.

Эти выражения часто используются для аппроксимации корреляционных функций, полученных в результате обработки экспериментальных данных.

Можно также ввести в рассмотрение нормированную корреляционную функцию

D /?(0)-/?(оо)

которая удобна тем, что всегда р (0) = 1.

Корреляционная функция R (т) для неслучайных (регулярных) функций времени тождественно равна нулю. Однако корреляционная функция R (т) может вы числяться и для неслучайных функций вре.мени. Рассмотрим несколько примеров.

1. Для постоянной величины х (с) = Лд (например, для постоянного тока) корреляционная функция

+?

\r.(t)\<4rao)4r/o).

Взаи.мная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой в разные моменты времени, отстоящие друг от друга па промежуток времени т. Значение R (0) характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Примером таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты простраггственного положения подвижной цели.

Для пе связантнях друг с другом случайных процессов для всех т справедливо равенство r (т) = 0. В связи с эти.м говорят, что процессы коррелированы или не корре-лированы. Это означает наличие или отсутствие между пи.ми статистической связи.

Аналогично предыдущему .можно также ввести понятие нормированной взаи.мной корреляциотщой функции.

§11.5. Спектральная плотность стационарных процессов

Рассмотри.м так называемую энергетическую фор.му интеграла Фурье. В главе 5 были приведены формулы (7.15) и (7.16), дающие переход от функции времени к изображению Фурье и обратно. Если рассматривается некоторая случайная функция времени х (t), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде

f(yo))= jx(t)e-j dt, (11.54)

х(0 = -?f(j(o)e> Vo). (11.55)

Возь.мем квадрат модуля изображения Фурье 17(/со) Р и проинтегрируем по всем частотам от -о° до +оо с делением результата па 2п:

, F(jco)p со=- ?7(jco)f(-jco)flfcfl. (11.56)

2п 2п

1 ~

Для стационарных случайных процессов используется также понятие взаимной корреляционной функции, вводимой при рассмотрении каких-либо двух процессов x(t)Hy(L):

(т) = lim - 1 x{t)y(t + x)dt. (11.53)

Для взаимной корреляционной функции существует следующее соотпошение:

Кро.ме того, можно показать, что

2n

xiiyrJdt

В последней формуле изменим порядок интегрирования: 1

\Fijm)\4(i)= x(t)dt

iJf(-;(0K>V(0

(11.57)

Величина, находящаяся в квадратных скобках (11.57), как нетрудно видеть, является исходной функцией вре.мени (11.55). Поэтому в результате получается так называемая формула Релея (теорема Парсеваля), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье:

;f(jo))pjo)= \\x(t)fdt..

(11.58)

Подставляя ш = 2%/, получим

\FU2nf)fdf= \[xit)fdL

(11.59)

Правая часть (11.58) и (11.39) представляет собой величину, пропорциональную энергии рассматриваемого процесса. Так, например, если рассматривается ток, протекающий по некоторому резистору с сопротивлением R, то энергия, выделившаяся в это.м резисторе за В1)емя t, будет

A=lRidt.

Из (11.58) и (11.59) вытекает, что для нахождения энергии рассматривае.мого процесса за бесконечный и1ггервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему вре.мени от до +°° или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем частотам от -°° до +о°. Формулы (11.58) и (11.59) и выражают эпсргетическую форму интеграла Фурье.

Однако эти фор.мулы неудобны тем, что для большинства процессов энергия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности. Поэто.му удобнее иметь дело не с энергией, а со средней мощностью процесса, которая будет получена, ecJHi энергию поделить на интервал наблюдения. Тогда формулу (11.58) можно представить в виде

lf(Jco)4(o=lim-l- }[х(0]4/.. (11.60)

В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопряженных комплексов fOa>) и F(-j(i)). Изображение Фурье fOc) заменим выражением (11.54):