306 Непрерывные линейные системы автоматического управления и смешанного тюнтрааьного момента

М(Х,-Х,) (Х2--Г2)1= I (.Г1-Х,)(Х2-Х2)-Ж(Х х2)-,ЛГ2. (11.32)

Если g = 5 = 1, то центральный момент второго порядка имеет особое значение и носит название корреляционного момента:

г,2=М[(Х,-Х,)(Х2-Х2)1= I (Х, -x,)(X2-X2)ffi(x X2)<ir,uir2- (11.33)

в случае независимости случайных величие х, и Х2 можно легко показать, что корреляционный момент rj2 = 0.

Иногда употребляется понятие коэффициента корреляции, представляющего собой относительное значение корреляционного момента:

(И.,34)

где D и D2, - дисперсии величин х, и х2.

Для совокупности случаЙ71ЫХ величин х, (г = 1,и) в приближенных расчетах часто ограничиваются заданием матрицы-столбца (вектора) математических ожиданий х = 1.г,] х, и матрицы корреляционных моментов

21 22 23

... г, ... г2

/я! п2 6)3 ni

(11.35)

Составляющие корреляционной матрицы показывают степень связи .между отдельными случайны.ми величитгами, причем z, = tjj. На диагонали корреляционной .матрицы находятся собственные центральные моменты второго порядка, т. е. дисперсии Dj = (7 = 1, 2.....п).

§11.2. Случайные процессы

Случайная величина х, изменяющаяся во вре.мени t, называется случайным или стохастическим процессо.м. Случайный процесс не есть определенная кривая х (с), а является .множеством воз.можных кривых х (t), так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (М1гожеством) возможных значений.

Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент вре.мени является случайной величиной.

xi х2 x-i

t\ t2 ti

Рис. 11.11

Рис. 11.12

Примерами случайных процессов могут, например, являться; координаты самолета, замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т, и.

Итак, в случайио.м процессе нет определенной зависи.мости х (с). Каждая кривая множества (рнс. 11.11) является лищь отде;1ьиой реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, но какой кривой пойдет процесс.

Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными ха-рактеристика\п1.

В каждый отдельный момент вре.мени (t, 3,рис. 11.11) наблюдаются случайные величины Xj = X (г,), Х2 = х (2), каждая из которых имеет свой закон распределения. Поскольку это - непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.

Обозначи.м со (.х, t) закон распределения для всех этих отдельных случайных величин. В общем случае он меняется с течением времени. Для каждого да1И10го t в отдельности (t, t-, 3,...) будет свой закон расиределе1Н1я:

w{x,t),xe>{x2, 2), да (Х3, Г3), причем по свойству (11.14) для каждого из них

w{x,t)dx-=\.

Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случай-пых величин, определенные в § 11.1. В результате будем иметь сред нее по множеству (математическое ожидание)

x(f)= xxe:{x,t)dx

(11.3(i;.

н дисперсию

D(0= {x-xfw{x,t)(lx = x\t)-[x{t)f.

(11.37)

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюк кривую (рис. 11.12), около которой группируются все воз.можные отдельные решш-

и вообще

ж (Xl, ti; Х2,12,х, t ) = W (х ti)w (Х2, 2); -.; ® {х , t ) (11.40)

Это - самые простые соотнопюния в теории случайных процессов. Они могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).

зации этого процесса, а дисперсия D (t) или среднеквадратичное отклонение а (t) характеризуют рассеящю отдельных возможных реализации процесса около этой средней кривой.

Кроме этих осредненных характеристик х (t) и D (С), которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайной величины .г для отдельной реализации случайного процессах (f), которое определяется из выражения

х= lim - {xit)dt. (11.38)

Переход к пределу здесь необходи.м для того, чтобы характеризовать пе какой-нибудь отдельный участок кривой, а всю воз.можную кривую х (t) в целом.

Для того чтобы знать связь между воз.можны.ми зиачения.ми случайной функции X (Г) в последующие моменты времени со зпачепия.ми в предыдупп1е моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности

да(х г,;.Г2, Г,) (Ж2>0),

смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент времени величинах находится в интервале (Xi, Xj -i- dx), a в мо.мент времени 2 - в интервале (Х2, Х2 -i- dx2), будет 2 (х Х2, 2) dxdx2. Это есть вероятность того, что кривая X (f) пройдет вблизи двух заданных точек (х /.,) и (xj, 2)- Вводится также и -мерная плотность вероятности

w (Xi,,;x2, 2; -V О-

Если ее у.множить на dx, dx2, dx , то это будет вероятность того, что кривая пройдет вблизи заданных п точек.

Случайный П])оцесс полностью определяется видом функций да W2, Щ ,да и связью между ии.ми.

Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные .моменты времени (Х] в момент г,; Х2 в мо.мент 2 и т. д.) не зависят друг от друга. Тогда появления значений (х г,), (Х2, 2). С-З h) Г- Д- будут независимыми случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса

W2iXi,t;X2,t2) = W(Xi,ti)w(X2,t2) (11.39)