Ut.....gn обозйачеть аначенне нкци / VO соответственно при х=а, xi=a+hi

Я,=а+Ь, н т. д., где А=(Ь-(/л. то

/МЛс=~(Л,+2й+2л+-+2у -,+У,>. 06-7)

Рассмотрим метод на примере цепи рис. 16.5, а. состоящей иэ мелянейной нвдуктнвносгн и сопротивлений J?i и Rt- Завнснмосгь ф от i для елииейной

жпа...>гтипи1 оапаня чпавпй пне. Ifi.S rt FFtfCTI. ч. Я. г. (() НМвеТ фОрМу,

НИДуК1НВНОС1Н и collliUIHOJICHtlB 11 в п - i3aErv.R0Kn.iD

индуктивности задана кривой рис. 16£, б. Пусть э. д. с. яэо6раженную иа рис. 16.5, в

Обвзначни токи в ветвях в соогеегствии с рнс. 16.5. а. по законам Кирхгофа:

Огсища

-+ --тг- -

(16.

(16.9)

l+Ri/fi, l+Ri/R.

Разобьем время / яа равные промежутея г(/=лт>; тогда BMetrro (6-й/2в получки (пт-0)/2пт/2. Гккуиуюватеяьпо проикгегряруеы (16.8) Oi /=0 до (-=т. затем от (=0 до <=2т и т. д.. каждый раз используя формулу трапеций.

Для l=t

*.-*.+я<в- ()л.

Но по (16.7) рЛ=(1. следовательяо, гже и-остаточное лсггокосчеллеине, я ляльнеЛшрм пряжм его paifUM нулю. Но iro(l6.7) idr=.(2iM+i,). следовательно.

Уравнеине (16.12) пшволяет последовательно определять tt. 1*. (а н т. д. В левой части его налодятся пеишестиыВ тл1 п соответствующее ему поююь

i правой части известна го результатам подсчета з

предыдущие интервалы времени.

Последовательность расчета такая:

1. По заданной г (О .строят кривую e(t)dt.

2. На рис. 16.5. б проводят прямую OS под углом а к оси абсцисс, тангенс которого равен Дт/2.

3. Ток i, находямв (16.10). С этой пелью на рнс. 16.6 берут значение

e(/)d/, равное отрезку Этот отрезок откладывают на рис. 16.5, б в перемещают параллельно оси орданат до тек пор, пока один его конец не окажется на Кривой ф() (точка В), в другой-на прямой OS (точка D). При этом отрезок ВС равеи ф1, отрезок CD-i,.. Ток н равен отрезку ОС.

4. Ток Ig находят аналогично, только в соответствии с (16.11) иэ е (f) dl, равного

отрезку 22 (рнс. 16.6), предварительно вычитают Нщ, а затем уже перемещают полученный Отрезок параллельно осн ординат.

5. Для опредрлетия ij из j е {1) dt функция периодическая с периодом Т,

RT((,+fe>*i т. д. Если с(0 - я брать х(1-ь1]т;

118367

еслн непериодическая, то т выбирают после предварительных пробных иодсчекм.

Примч) 164, В схеме рнс. 16.5, и J?iR2=20m. Зависимость *=/(i) изображена нв рис. 16.5, 6. В интервале от (1=0 до /=0,1 с е(0=400/. далее

Построить крив полагая начальные условия нулевыми и оста-

......-------------- - -ро=0.

е потокосценление i] F е ш е н в с. Прниннаен интервал времс Результаты подсчетов сводим в табл. 16.1.

я т=0/)25 с. На.ходнм Rxj2=0fim.

Таблица 16.1

0.05 0,075 0.10 0.125 0,15 0.175 0,2

0.125 0.5

0,004

0,01

0662

0,45

0,565

0,645

0.715

1,12 1,943 1.55 1,435 1355 1,285

По данным табл. 16.1 на рис. 16.6 построен график [e(Od(=/( . а г . 16.7, о-гряфак i-f (().

кини иелимёйнымя сопротиБлениямв, а также к цепям, огтсываеыы* второго, третьего и более высоких порядков.

В качестве примера рассмотрим вопрос о переходном процессе цепи с двумя нелинейностями.

В схеме рис. 16.7, б к источнику э. д. с. e(ti-------------

[ндуктивность (зависимость 1=1Щ задана) и

Рис. 16.6

ное активное сопротивление с заданной в-,а. к. и=/(0- Проинтегрируем уравне. ние цепн + н(0=е(0 по / от О до (=пт, учтем, что

I Щй1=\[2 (У+2и (irf+...+2 (i i)+i. Ш-

В результате получим формулу, аналогичную (16.12):

Ф +--иУй)=е(0И-т 2 Р*)- (16.13)

Последовательность расчета пр (16.13) такая же. как и по (16.12). Разница лишь в том, что вместо прямой (прямое OS) на рие. 16.5. 6 следует нанести

крнаую й(а

§ 16,7. Метод медленно меняющихся амплитуд. В элааротехнике и радиотехнике дпя расчета п)еходиых процессов широко применяют метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предложен в 1921 г. голландским ученым Ван-дер-Полем.

Рассмотрим основы этого метода на примере нелинейнсй цепн второго пфядка, находящейся под воздействием периолической возмущающей силы.

ГЬсть уравнение этсй цепн записано следующим образом:

S + fW + = sin(o(.

(16.14)

Под д€йспщш периодической силы с частотой ю в цепи устанавливается вьшунодшное колебание, первая гармоника которого имеег частоту и. Полагаем, что высшие гармоники выранжны слабо.

Искомая функция х(0 может быть представлена как jt = flsin idf + bcoswf.

(16.15)

где а и Ь -медленно меняющиеся во времени амплитуды искомого колебания.

Медленность изменения о и Ь во времени определяется тем, что их производные по вршени являются величинами первого пфадка малости по сравнени! произведениями шх и соЬ:

f <ш. %<.Ъ. (16.16)

Если это учесть, то, вместо того чтобы взять

= ош COS - 6(0 sin o)f + sin + COS чЛ , (16.17)

можно в первом приближении принять

р ош costof - 6© sin cof. (16.18)

Аналогично, вместо того чтобы вторую производную брать в виде

- sin <о( - (Ь COS (04- о COS и( ~ - и sin +

пренебрежем в ней слаганлыми второго порядка малости и оставим слагаемые первого порядка малости. Получим

- ((iftH- 2<о sin Л- (~ о) й + 2<о) cos ши (16.19)

Обратим внимание нэ то, что слагаемые первого порядка малости оставлены в выражении для dbcldf и ими пренебрежено в выражении для dxidt. Объясняется это тем, что исследуемая цепь обладает малыми потерями, поэтому амплитуда второго слагаемого левой части (16.14) относительно мала по сравнению с амплитудами первого и третьего слагаемых левой части (16.14).

Далее, в функцию f{x) вместо х подставим (16.15) й разложим/(л) в ряд Фурье. Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось f{x). На [иа правую часть (16.18)]. Получим

fix)- (й. Ь) + /1 (й. Ь) sin Ы + fв {а. Ь) cos -Ь

-l-fs(o, b)sin2(0/4-fa(q, Ь)cos2(0/+... (16.20)

Так как расчет ведется по первой raioHHKe, то постоянной составляющей Fr,{a, Ь) и высшими гармониками рада Фурье {Р{а, fc), f,(o, b) и др.] в дальнейшем пренебрегаш.

В (16.14) подставим правую часть (16.19) вместо dx/df, Fi(a, b)sm&t+F2{a, bjcostat вместо f{x)dx/dt и mo(osinc3(+6cosu)Q вместо coSx.

Тогда (16.14) разобьется на два уравнения. Одно из них [уравда-, нне (16.21)] будет выражать собой равенство коэффициштов прн costoi в левой и правой частях (16.14), другое [уравнение (16.22)] - paacHCfBO коэффициштов при smmt в левсж и правой частях (16.14):

2<+F,(a, b) + a(il-<)A: (16.21)

2w +fs(a, b) + b(iol-to = 0. (16.22)

Система уравнений (16.21) и (16.22) представляет собш два совместных дафференциальных уравнения, сосгавлвшых относительно мгнсвенных значений мадгешю меняющихся амплитуд о и Ь.

В общем случае решение огстемы (16.21) -(16.22) может производиться методом малого параметра или методами числового интегрирования, а также прн помощи метода Валынкина. В частном случае, когда внешняя периодическая сила равна нулю {А=Щ и функция Ft(a, b) = 0, сисгша сводится к одному дифференциальному уравнению первого порядка:

Ранее были

116.23)

I основные этапы перехода от дифферен-

циального уравнения для мгновенных значений [уравнение (16.14)] к дифференциальным уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Метод применим и к другим, более сложным уравнениям.

В заключение необходимо отметить, что еслн максимальное значе-, ние слагаемого f{x)dxidt в (16,14) (и подобных ему), выражающее собой падение напряжения в активном сопротнвленнн контура контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных слагаемых (16.14), то в выражении dx/dt должны быть сохранены слагаемые первого порадка малости, которыми ранее пренебрегли. Огибающая колебаний определяется уравнением

тределшъ эакои нврастанвя амплитуд генератора § 15,65. Уравиепне лампового генератора было

Анодный 1

/а выразим через сеточное напряжение i. следующим образом:

[Ср. с (15.4&), см. пунктирную кривую рис. 15.27.1 Пронзводнан от анодного тока по времени

Падетавнв ее в (16J, получим

/.С=1/(о!, где Ио-угловая

Поделив последнее уравнен), колебаний (см. формулу (15.61)1, и обозначив

ft.--Тс- *=л

будем иметь

примем ,:=..1AA .

(16.24) (16.25)

. (16.26)

Ммжнтель -Al (1-и представляет собой функцию уравнения (16,14). Так как на систему ие деШсткует внешняя р10днческая смлз н частота аепжопнай равна <Uo, а не ш, то примем, что Х>=<1 sintdf. Таким образом,

J =eo) cosw: (16.27)

-g- =2afl-cos o-ca или/. (16.28)

Подставим (16.27) и (16.28) в (16.26), учтя, что

sln a.(/cos /=0.25 (cos w-сов 2(icoe<rt~-ooimiSi+fffflJsmffiD/-Ai WoCOBUj;-f-0,25ftjtOoa X Х(сов<во-совЗЦ,0=0.

Так как расчет ведем по i

S гармонике. То слагаемое

хЗщ не учитываем. Получим

2==ak,{l-0,2bai). (16.29)

Введем новую переменную р=0.25аа. Вместо (16.29) будем иметь

dy/dtkyO-y). (16.30)

Уравненве (16.30) представляет собой уравиепне с разделяющимися леремен-ши:

Здесь-InCo обозивчена постоянная интегрирования;

Амплитуда напряжения ив емкости

УЧ-С,е-*- во времени следукхднм образом: