К:.

Еслн почленно разделить (15.76) на (IS.79) и перейти к модуля то получим

VtfU f=wJWt, (15.80)

т. е. отаошенме напрянжния на входе траисфо1Ж1атора к напряжению на его выходе (на нагрузке) приблизительно равно отношению числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки.

В правильно сконструированных трансформаторах при нагрузке, близкой к номинальной, ток /(, составляет всего 1 -10% от т(жа li, щшоиу уравнение (15.78) можно приближенно представить так:

Между модулями токов /, и 1 прн нагрузке, близкой к номинальной, имеет место следующее пртближенное соотношение:

lilUwjWi. (15.81)

т. е, ток У, почти пропоршюнален току 1. Эта пропорциональность немного нарушается за счет то-/fJrt на холостого кода /о-

В активных сопротивлениях вторичной цепи выделяется энергия, которая переносится магнитным потоком из первичной цепн во вторичную и восполняется источником питания схемы.

§ 15.68. Векторная диаграмма трансформатора со стальным сердечником. На рнс. 15.54, с изображена векторная диаграмма прн ицдуктявной нагрузке

Построение диаграммы начнем с тока /j, расположив его произвольно. Под углом PB = arctgX /J?H к нему расположим вектор напряжения на нагрузке Ь . Прибавим н вектору IJ векторы /jRa и в/м-Сумма падений напряжения во втортной цепи равна нулю. Это даег

возможность построить вектор цш - .

Далее строим вектор {т на 90 отстает от вектора /а-]-

В сердечнике трансформатори, как и в сердечнике нелвнетной индуктивности, есть потери, обуслшлеигые гисгерезвссы н вихревыми токами. Вследстие этого ток холостого хода /о состоит из геометрической суммы намагничивающего тока /ц и тока потерь (рис. 15.54,6):

Ток /у совпадает по фазе с потоком Ф , а ток /, опережает поток Фт иа 90°. Токи 1 и /, определяют так же, как дня нелинейной индуктивности..

Рис. 15.54

Тс холостого хода опережает поток <Ь на некогошй vrwr v В сооретствни с уравнением (15.78) ток /, равен геометрической сумме тока /р и тока /; = - /j5. Геометрическая сумма падений напряжений /,R Д/Х и /шьи даег напряжение иа входе первичной цепи f?,.

С целью удобочитааюсга на рис. 15.54, о не выдержаны имеюиу(е место в действительности соотношения между модулями напряжений, а также между модулями токов

Пример 160. Пойьииающий трансформатор имеет сердечник на трансформатор-иоБ стали Э41 при толщине листов 0,5 мм. Кривая намагипчнвания Н ~ = 0,71 sh {5,75В). Сердечник выполнен из пластин, имеющих кольцевую форму без воздуишого зазора; к=250. \Ш; 5=2.2 см, /=25 см. Пренебрегая и Х, определить ток холостого хода /о при t/i= 15 В н /=50 Гц.

Решение. Амплитуда нвдукцин В ==1,22Т.Пронзв1а,еннера = = 5,75.1.22=.7Д)2.

, По иривоН рве, (5.51 прв ра =7,02 находим wJ!{atV)\i&, Но alK2/a4=0.7.0.2fij/2/250=10-3. ОгедоЕВтельно, /.=0,185 А.

/Часса сердечйика т=7,8 (г/смз)-2 (см) - 25 {cM)=0,4280ir). Нэ табл. 155 находим; р,.е= 1,6 Вт/кг, pi,6=3,6 Вт/кг; п=5.69 Ig(3,6/1,6)== 1,13.

Удельные потерн в стали при В =1,22Т 1,6-1,22-*з-1 =2,1 Вт/кг.

Полные потерн в сердечнине массой 0,428 кг Рг=0,428-2.1 =0,9 Вт.

Ток, обусловленный потерями в стали, /сР /!/, =0,9/15=0,06 А.

Toir холосто© ода практически равен току /

§ 15.69. Метод и

[ ypaoHuiHit. Or нелинейного д

уравнения можно перейти к интегральному, используя одну из форм записи интеграла Дюамедя. Поясним вдею этого перехода- Решение линейного дфферен- пиаяьного уравнения, например уравнения

%+af+a4{e). (а)

может быть аапнсано в виде

Jc{0 = /{0g(0}+5/(tlg(/-T)dx. (6J

Подсад понимаеря здесь либо нереходная проводимость, /мбо переходяан функция в вавяенносгн от того, чем является х ло отношенню к вынуждающей силе f{ty, gif) определим как решение (а) при /(0=1.

Если сходное уравнение нелинейно, например

to яеликейныЙ член Ьх можно леренесгн в правую часть а рассматривать как -внутреннюю вынуждающую силу:

(в)

Используя (б), запишем решение уравнеияя (в):

*=l/W-bWIfi(0)-b5[/W-*x Wlg(i-Odx. (г)

прщеляется no лвкейисЛ частя исяодяого пе) нения при вседайствии иа нее 1(1). Уравнение I интегральным уравнением по тяну Вольтерра второго рода. Его можно решать методом последовательных привлижеивй, полагая ль = (0) н пользуясь слеяукяцим соотношением для к-го прнблнженнж

*ft(0=[/W-(4-,(qfi(0)+[/{T)-*x jfi)]{(-T)dT.

Метод имеет смысл применять только в той случае, ки-да процесс последова- будет сходящимся.

Пример 161. Решить уравноше ?+jc -I при jr(0)=O.

Решение. Для определения glf) иа линейную часть системы воздействуем апряжеиием dx/dtl; ff(0=/;gW=<: £(0)=0; fi* (i!-t)=1.

рекурред!

-h(-i)>--l -&-

§ 15.70. Метод шалого ггрЕметра. НелинеВное дифференциальное уравнение иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую величину x в виде ряди по степеним HCKotoporo коэффициента ji. который называют

rat Хд-решеняе уравнения нулевого приближения; последнее получают и:, исход* вого. полагая, что все нелинейные члени в исходном уравнении отсутствуют; Xi-решение ураинения первой поправки; поправка учитывает влияние нелинейных членов в первом приближении; Xj-решение уразнения второй поправки

Если исходное уравнение является днфферешшальным уравненрем второго или более высокого порядка, а принужденный режим представляет собой колеСа-тельяый промесс то квадрат угловой частоты первоЯ гнонйнн а? или первую степень а также раалагаютп ряд по малому параметру:

где Kg-квадрат угловой частоты в нулевом ириблвжении, когда всеми нелинейными членами иренебрежено; ц/-поправка первого! нелинейными члслами уравнения; (i*/e-

Пвсл 5Кжггрлы1ость решения рассмотрим нэ двух iHMcpas. 1. При j£(0) - О решить ураввение

g+>?==l- (15.82)

К такому уравиеиию, например, сводится задача о пермодяом пргшесее в цепи, состоящей на нелинейной нвдуктивностн и активвого сопротивления, прв шщключенки се к постоявиму яапрякевию в apt ввадратнчнов анпроксннацин зависимости лотскосцаикшш от тока.

Все аяжлвые чяеиы уравн№ня пережсим в левую п , а тлявоат.

умножив па некоторый малые параметр ц,-в правую (в грамере цц:

Предстаиш решение (15.8 в вцде ряда ио степеням i:

J:=*:a+( i+Ii-f... (15Л26)

Подставим (15.826) в {15Л2а):

+(4-Ц - =-М г-1*2>Л-1(д:Г-Ь2хв*,)-... (15.63)

девой в правой

На (15.83) образуем систему урабнениВ. приравняв частей его лри шннаковых степенях (i:

уравнение нулевого приближения -1=0; уравнение ля первой поправки -

справки

(15.8 (15.85) (15.86)

Проинтегрируем (15.84):

Постояняуго Со=0 опредвпялв па пвчальиых условий. Подставляем x-t в урааненве (15,85) и ишгрнр}-еы его:

Для иервой поправки начальные условия такнш нулевые. Поэтому Ci=0 в Подставим хаи х,в (15.86):

С (15.826)

(15.87)

Аяалогнадыи яутем можно было бы волучить и шхуидующве адены ряда (15.826). Так как уравнение (15.82) имеет точное решение xttil. то. вачв в раз-

ложении ihfTpH первых члена рада, кшшо убедит!, чюоянс -------о (15.87).

с правой частью (

2. Решить уравнение для лампового геяфатора (вывод ypai мере lfi5) itfH иатаьных условиях х(0)=Л н х{<3)=0:

Коэффициент ki при неливейнсм члеж в дальнейшем будем считать я параметром н обозначим ц. В соответствии с лредцнущнм-

i. влри-

в уравненнй (15.86) вместо х дкяставим правую часть (15.89) и ьй-(i-

(*+1 +р+ -..j+fiu-Wi-IbW (>+ ,+р%.+...)=0. (15.90)

гвующве 1 в нулевой.

Образуем нз уравнения (15.90) три уравиеивя, первоб вторсЛ степсняж:

С1В.91)

(15.S (15.93)

Проинтегрируем (15.91) Попстаинв x, в (I5.ffi н учтя.

sinacoS*a=0.25£aDa-f05KJD3a, пОЛучиМ

Уравнение (15.94) можно трактовать следующий образом; на колебательный ХС-контур без потерь [левая часть уравнения (15.94)1 воздейстеуют вынуждающая сила с гловой частотой и, равной собственной частоте колебательного контура, к сила с угловой частотой, в три раза Польшей.

Известно, что если нсдключить колебательный tC-KOHiyp, имеющий актйвио? сопротивление О, к источнику сннусондальной э. д. с, йп tut при огов! rt, то амплитуда тока в дели будет нарастать -------

ельио.

Прн v- 0 н e=Ry(2L).0.

Разложим е в ряд н, учитывая малость в, i Получим

а первых члена ряда.

Такие члены в решении ди4

, . . - шьйых уравнений, амплитуды которых нарастают теоретически до бесконечности прн увеличении врийенн t, называют етсо-выми членами. При дальнейшем решении уравнения (15.94) необходим) помнить о том, что амплитуды вековых членов должны оказаться равными глю при любой/>0.

Гешенне (15.94) запишем следуишшм образом: j=j4itiiHu(+BiCOsb)(-f(Cismto/-fD, cosicO/-f£i£an3<a/-J-fiCOsaca(. (15Л5)

Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного уравксиия; четвертое н пятое-частное решение неоднородного уравненям. Третье слагаемое представляет собой вековой член. Его можно было бы ие вводить в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов А, Ви Е, f Q, £f одВако Введем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкнм не помешает.

Дважды продифференцируем (15.95) по времени:

j; J=- j4,m йп (й/-Bfii cos m(-fC, i cos Ы- Difu dn Ы+ю (С, cos K(-Di srn mt)-tafi (Ci tan at+D, (

Подставим (15.95) к (15.96) a (15.9, вцделвннэ левой н грввой частей (15.94) слагаемые соответственно с dnmf [формула (15.97)1, coserf [формула (15,Ш1. ыпЗ ( [формула (15.99)], cos3 ( [формула (15.100)1:

D,=0(10,25 ); (15.97)

-8ш*£1=0,г5иг, (15.9(1)

&Л=0. (15.10(0 , Слагаемые (15.9 с вековыми членами дают нуль:

((Ci£anM(+D,cosej()(m*-е?)=0. {15.101J

Используем также заданные начальные условия для сярчделвшя Aj, В С Dj, Ef, F. Так нэк начальные условия уже были удовлетворены при определения *о, то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея это в вчду, нз (15.№) нахцдны:

*i(0)=B,-)-f,=O.

Из (16.100) F,=0, поэтому В,=0. Иэ уравнения (15.95). используя условие х,(0)=0, имеем ,

вЛ+£>,+За,£,=0.

а Dl и El iZe<

л из (15.97) и (15.9 поэтому

Поправку на угловую частоту / а вместе с тем н значение At найдем, исходя нз того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом /> 0. Отсюда С, =0 и Di=0. -

Из (16.98) следует, что /i=0. а из (15.97), что Аб=2.

Таким оСээои,

Огра.

ma, первым приближением и перейдя от р к Aj. получим

Jt =хв -Ь( ,=Л cos и( -i-kt (~ .13 sin 8ta Зм). I

Первое прнйлнжише привело к изменению амплитуды вервой гармоники гармоники.

с Ло=2до21-Ь

Углшая частота первой гармоники в первом

jTper;

-------.....-----(енин не измжилась Н

а угловой частоте чу нулевого приближения. Аналогичным образом производится и второе нриблинкнне! Однако каждое последукжцее приближение по срав-шшю с врсдвдущим более трудоемко.

В основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре I небесной иеланике. Метод называют методом t------ ---------- ------

> параметра потону, i в нем произюсщят разложекне решения в ряд по стшеним малого параметра. Насколько этот, параметр должен Сыть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Ввжпо, чтобы рялм для * н для о ила *> сходились. Еслн рчды будут сходиться медленно млн вообще ие будут сходиться, то польэотмъся зшм кетодом ие имеет смысла.

Вопросы ли с

I. Охарактеризуйте

, , I таггы нелинейных активных, нидукгавных

-------- L сопротивлений. 2. Какие физические явления могут наблюдаться

Я нелинейных и не могут в линейных цепях? 3. Как нэ мрактериетак для мгно-