ути-G dc и ttotocTbCedx. Обозначим тсж в начале рч взшого участка линии через i и напряжение межлу проводами j в начале участка и, И ток, и напряжение являются в общем с функциями расстояния вдоль линии x и времени t. Поэтому в j вейшш в уравнениях использованы частые проимонрью от и B,i времени t и расстоянию х.

Если для нйздгорого момента времени t ток в начале вашого участка равен (, то в результате утвдки через -элемент ток в койце участка для того же момента врелкни i+dx, где -скорость иа й яня тока в nanpaejHH д росгь, умноженная на расстояние dx, является приращениш i нута dx.

Аналмично, еслн напряжение в начале участка и, то в участка для того же момента времени напряжение равно

Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для ; контура, образованного участком, лирии -длиной ах, обойдя часовой стречке:

~u-\-nodxi + Lodx+u-\-~dx=0. После упрощения и деления уравнения на dx палучим

По первому закону Кирхгофа;

i = di+i + dx.

Ток di (рис, 11,2) равен сумме тжш. проходящих через г мость Cgdx и емкость Cdx:

di-{u+dx)G,dx+~IC,dx[u+dx).

Ц)енефетаем слагаемыми второго порядка малости, тогда

di=uGodx+C dx-~. (1Ц

Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим ]

№ображение тока

Уравнения (11.1) н (11.4) являются оснсшными уравнениями для линии с распред

и параметрами.

§ II.3, Решение ;

ий линии с раелрсаелениымп рами при установившемся сннусоцдалыюм прщессе. Пусть жение и ток в линии изменяются по синусшдальному закону времени. Воспользуемся символическим методмл.

Шображ-----------

I / sin (caf+q),) /е .

1яжения

и = t/ sin (<о(+q) ) (7е .

где U = V>SV;

Комплексы Out являются функциями расстояния х, но не яв- ляются функциями времени. Множитель есть функция времени t, но не зависит от х.

ПpедcтaвJтаиe изображений тока и напряжения в ввде произве-[ дення двух множителей, нз которых один является функций! только jc, а другой -функцией только /, дает возможность перейти от уравненнй в частных лршэдодных [уравнений (11.1) и (11.4)] к уравнениям в простых пронзводаь(х. Лствителыю,

L.§-*Ul-lf--i>Lj-,

(11,5)

(11.6)

Подставим <11.5) и (11.6) в (11.1) и (11.4), сократив в полученных уравнениях множитель Ы ;

-fdU/dx-ZJ; (11.7)

-fXll/dx-YJCl; (11.8)

Решим систему -уравненнй (1К7) и (11.8) с целью продафференцируш (11.7) по х:

dx* dx

(11.9) (11.10)

ibHO 0. с этой

(11.11)

в (11.11) вместо подставим правую часть уравнения (11.8);

(11.12)

Уррвнение (11.12) представляет собрй линейное диффенциальное

Уравнение вто))ого гоядка. Его peuiajfee:

О = Ае+[Дае-т*. (11.13>

Комшкксные числа и А есть постоянные интегрирования, ко-

Рые ь дал№шем определим через напряжение и док в начале иди Через напряжение и ток в конце линии.

Комплекснсе число

принято называть постоянной распространения; его можш вить в виде

где а -кюэфяашип затухания [характеризует затухание! .

водны на единицу длины J№HHH, снажш, на 1 м (кв!; -

циент фазы; ш. xtastmyei изменение ваящццн волшй ] единицу длины линии [на 1 м (км):

[у}=[й]=(й=1/ЙМ.

Ток / нада* из уравнения (11.7):

--7

Отношение Zo/y= Zo/VZoY=VZY имеющее размерность ] протавлейня, обозначают Z н называют волновым .

где 2д -модуль; -аргумент волнового еопротивлашя Z , Следовательно,

§ 11.4. Постоянная

лось ранее.

а ю=0 и потому

Для линии сннусшщального ioi без тоть (Ад=Со=0)

Запишем формулы для приближенного определения Э и се в л потерями, когда (ади1о)<1 и (6о/шСо)<1. С этой целью i мулу (11.18) следующим образом:

(ii.ll

Как rcBfi

(iij

<и

и разложим биномы в риды. ограничившись дв5тя воспользуемся соопкяиеннем Vl+x е1+(х1Щ. Полу

каждого ряда (

Рассмотрим вопрас j3 (11.17) следует, wro

соорошшюшш. Для HOdOfOffloro т№а (ш=р) Для ЛИВИЯ еяяусоявального тока бев яотерь (Re= Co=0)

ашвш я(т№]> ш, когда

§ 11.5. Ф(фмулы для определения 1юмШ1ексов i

я и тока

в любой точке линии чсез шмнлексы напряжения и тока в начале линии. Как в раньше, чщ/ез х будем обозначать расстояние ш начала линии до текущей точки на ней.

Пусть в начале яжин пря х = 0 напряжение 0 и ток /j,. Составим уравнения для определения постоянных Л, и Ла чд)ез й Ii. Из (U.13) в (11.16) следует (х-0):

CA+Ai (11.25)

i,Z A,~A,. (11.26)

Екя кшретшяя Л ш (ИМ) тлчтя Ц.И:Щ:

= ,5(6, - ?,ZJ - Лае ; <Л1.27)

Д,=©<А-/ 2,НАЛ <31.28)

где Л, -модуль, *о - аргумент комплекса Л,; Л -модуль, -аргумент* ксмплекса Xj.

Подставим (1127) н в (11.1:

Введем гиперболические функции. Известно* что

chjc = 0,5(e4-e}, shjc=0,6(e*-e-).

Поэтому

0.6(ef-fe-)-chT - (11.29)

0,5(ev -e--v*) = shYX. (11.30)

Следователыю,

О ==001 ух ~ hZ, sh VJC. (11.31)

Аналогичные преобразования, примененные к (11.16), дают

/-/ichvc-diV*. (11.32)

I № -нмальные буквы слов зтражеаная! я впадающая

, Ивдексы о. (волны), см. § 11.8,

Формулы (11.31) и (11.32) позволяют найти кслшлексы - ния и тока в точке линии, расположенной на расстоянии : начала.

Следует иметь в виду, что аргументом гиперболичеошх . в этих формулах является кстлплексное число ух = ах-\-х.

§ 11.6. Графическая интерпретация ги1 , косинуса от томплексного аргумента. Гиперболические функш кшплеисного аргумента сами являются комплексами и могут изображены векторами на----

ной плоскости. Заменим у-ву)

и (11.30) K&axZ shT -{(e*re

ax(IJ

Рис. 11.3

По таблицам функций найдем значения к и иа комплексной плоскости { 11.3) отложим векторы g-oxe-/P*, Первый из иих по модулю равен е -* и по отношению в действительных значений повернут на угол рл против часовой с; ; второй по модулю и по оттюшению к оси -действительньм 1 чений повернут на угол рл по часовой стрелке.

Гиперболический косинус равен полусумме этих вектсфов, а г болический синус-их полуразности.

§ II.7. Формулы для определения напряжения и тока в i точке линии чфез комплексы напряжения и тока в конце л

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца i а длину всей линии (рнс. 11.4) /:

У=1~х. (

Пусть известны напряжение и ток в Конце линии Ь\ и Д. ставим Б (11.13) и (11.160 = GU, 11 и составим два нения для определения постоянных иитегрнрования и А2

Огаода

Если иасгашпъ (11.34) в (11.13) и (ll.ie-). заменить 1-х на у I перейти к гиперболическим функциям, то получим;

(?-b5chfi/+/sZ,divj; (11.35)

(11.36)

Зная и /в с помощью формул (11.35) и (11.35), можно найгн комплексы напряжения и тока л точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

§ 11.8 Падающие и отраженные волны в линии. Подставим в фор-MV.iy (11.13) /flie *вместо Д Лае вместо Д, [см. (11.34)] и, заме, ннв у на а+/р, получим

г/Ле е1** +/4ае-°е(1 - -). (И.З?) .

Аналогичную onepaiyiro проделаем с формулой (11.16), причем в дополнение заменив Z на г,* [см. формулу (11.17)]:

/ А ее + А е- (*д . (И .38)

Для пфехода от комплояхв напряжения н тока к функциям времени умножим правые части формул (11.37) и (11.38) на ]/2е** и от проижедЕний возьмем мнимую часть:

и = >4i sin {ml -{ % + px)+A,V2e-* sin (ffif+- рл); (* -37)

/=r->e°sin((oZ + if(,-f pjf-q)J +

+ f*+- - фЗ; (11-38)

Шдающй эАектромвяааптй волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в на- *

шем случае в направл

иуве-

личения координаты х. Элек-трсмагиитное состояние определяется ссюскупностыо элект

рического и магнитного полей. маа твии

Падающая волна, распростра-

вяясь от источника энергии к -

приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом магнитном полях.

Отраженной влектромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергия, т. е. в нашем случае в сгороту уменьшения координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной иапряжения [второе слагаемое фсфулы (11.37)] н падающей волной