Решение. Корни уравнеиии wff>-I

По формуле (8.65),

Л,=ЛГ(хО/ЛГ(х,)-1/-1 = -1; Л,=.ЛГ(х,)/ЛГ(%) = 1/1 = 1-£ 8.49. Формула разложения, Пч)еход ог иаобжения ЛГ (руМ к функции Ч производят с помощью формулы

(8.а

которую принято назьшать фармулЛ разлткшт.

Лшая иасгь формулы является функцией р. правая часть- вегствующая ей фушщия времени t. ТЫ

Вьшод формулы можно осуществить следующим o6pajOMlJ изображениГкаой-либо ф)пшции времеин, например тока, пр£ЭСТ ле , в виде дроби:

Для получения тиса как функции времени () W уг,-! К(рШ(Р> в виде Ф- Ч дробей-разложим (p)/Mi С iron целью в формуле (8.5 заменим i на р: 1

Nipt

1-

Перейдем от изображения к орншналу. Оригиналом левой является i (t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов j слагаемых. ]

Учтем, здо множители N (pk)/M {р) у слагаемых суммы i части (8.60) есть постоянные числа (не функцни р!). Кроме функциям* р в прав части являются только множители I/O -I нм соответствуют функции времени вида е * [см. формулу (8. Поэтому

Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функ с помощью формлы разложения (8.61) основан на том, что и жение представлено в виде суммы простых дробей {rj ~ а пригнналами нх являются показательные функции jc *.

Число слагаемых je * раыю числу корней уравнения Af(*-j = 0. Коэффициенты {plM (fit) можно сопосташггь с посгоянн 4

рдтегрнрования дифференвдальноге уравнетия (уравнений) цени в классическом методе расчета.

Если среди корней уравнения Л1(р) = О есть нулевой корень (р = 0), то ему в правой части уравнения (8.61) соответствует слагаемое

N(0)

Слагаемое N (Щ/М(0) представляет собой составляющую искомого тока (напряжения), о%сл(жлсяную постоянными BbiHjTKflarouiHMH силами. Еслипосгойнныжвынуждающихсилвсхеменег,тоЛ(0)/М(0) =

Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61).

1. Формула разложения применима при лвэбых начальных условиях и при любых практически встречающихся ффмах напряжения истачш1ка э.д.с или тока, воздействующего на схему.

2. Если начальные условия не нулевые, то в состав N{p) bohjot внутренние э.дл.

3. Если уравнение М(р) = 0 имеет юэмплексно-сопряженные корни, то слагаемые, соответствующие им в фкмуле (8.61), оказываются также ксшшкаю-оопряженными н в сумме дают действительное слагаемое.

4. Если воздействующая на схему э.дс синусоидальна: sin {ett + + iji) и изображение э.д.с взято в виде Ё~, где комплексная

ампл1ггуда Ёш = Ет, то при использжанни формулы разложения нз правой части ее для перехода от комплекса к мгновенному значению следует взять коэффициент при / (взять мнимую часть)*.

В сйлветствии с этим внутренние э.дс, которые появляются в правой части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синуаищальной э.д.с, должны быть умножены на крэффнциент J.

Умножать в1тренше эл.с. на / необходимо потому, что только , в этом случае наличие внутренних э.д.с будет учтено при взятии мним( части от правой части ффмулы разложения. В цепях с постоянной Э.Д.С. внутренние э.дс. умножать на / не нужно.

5. Если воздействующее на схему напряжение синуссшдалыю, то прин>жденная составляющая решения входит в число слагаемых 2]feP* и определяется корнем р = /(о. Вычисление принужденной Ооставляквдеи в виде 4jfeHa этой суммы, соответствующего корню Р=/ш для сложных схем, в большинстве случаев более громоздко, чем наюсредственное вычисление ее с помощью символического метода. Поэтому дЛя сложных схем nq)€MeHHoro тока принужденную составляющую раазмендуетея вычислять символическим методом.

С помощью формулы, подобной ффмуле (8.61), можно определять не ТОЛЬКО токи н напряжения, но н многие даугие функции )шени

* Мнимая, а пе действительная часть нз формулы разжйШшя берется потовд. заданная э.дл, sin (ш+ч} ) сть кнниая часть Евиплекса (С - Ч-

(зарад коиденсазора, скорость 11ервяе1ЦЕиня какого-либо тела внческой системы и т. п.).

Пример 94, Опредыигь ток i,(0 в схеме рис. 8.18 с пома

формулы разложения и сравнить с резул татом решения классичеаиш методом {<\ пример 81), если £ = 150 В; Р = И[=И i = 50 Ом; С=100мкФ;

((с(0) = 50 В.

Решение. Охтавим г ционную операторную схему (ркс. имея в виду, что начальные условия i -J- левые. Внутренняя э.д.с. нс Ф)/Р з-. л

Рнс 8 32 учесть, что до коммутации кстщенсатор (

заряжен до напряжения Псф) током i поэтому она направлена встречно току (р). Узел О схемы зазем Потенциал )зла J обозначим 4>i(p) и шределим его по методу у а

вых потенциалов:

-9i(p)+(g/P) ft

По закону Ома для участка цепи с э.д.с.,

лад-После преобразований

~Р1К.КР + К,+1>л ~мы Уравнение Л1(р)=0 имеет корни

поэтому

Ь>г) = (150 - 50). 50-100 (-400) -1+150 = - 50; М (р)=2 ,/),Ср+К,+Лз; М>0-К.+Яз=1ОО; M0>J-2-5O-50-100-10- (-400)-f 100-.-!00. Ток в схеме рис. 8.18

MO=lg+t=,.5+0,60--А.

что совпадает с результатом примера 81.

Пример 95. Найти i (О в схеме рис. 8.20 путем применения . мулы разложения и сравнить результат с результатом решения = же задачи классическим методом (см. пример 82).

Решение. Изображение сииусоидальяов 9.дс. 12rsm(3l -50°) VI = -7=TS- f £ =127e-w В.

В схеме ненулевые начальные условия:

Hp)(R,+pL) = E{pl+Ufpt: .(0.)=-25,35 А.

Так как дейспзующая в схеме э.д.с. синусоидальна и взображе- ние ее взято в виде Emzq (£, -комплексная амплитуда), товдаль-нейшем в связи с этим от правой части формулы разложения следует взять коэффициент прн мнимой части (см. п. 4. § 8.49), поэтому умножим внутреннюю Э.Д.С. £.( (0) на j.

После небольших преобразований на.тоднм

(р-МИ<,+рЦ М(рУ

Стедователыю,

ЛГ (р)=£ + jti (0) (р - /ш); М{р)(р- /01) (Я,+pi).

Уравнение Л1(р)=О имеет корни р,=/со с* HP2 = --/;2/L=-210с-\ поэтому

М(Р) =Rs+pL+Z,(p - jo>); W (рО - 2+3/=3,61е)58я>-; /И(рг)=-3,61е и--3.61г-Р>-< -; W(p0 = 127e-/ -;

ff(pJ=l27e- 4-/(-210-/ai4)Jf(-25,35)=6,4-/46,4--47,1е- =2<.

V \ =3B,2sm( (-l06°20)+13,lsin40P16e- А; I . 13,lsin40P6=8,45.

Pe3jbTaT совпадает с результатом примера 82.

§ 8.50.

опфаториому методу. I. Для перехода

от изображения F(p) к функции времени j (() мсжег быть использовано обратное преобразование Лапласа:

функция f (p) аналитнчна в об;;асги Rep>v и стремится к нулю Рн Ipl-oo. При пракгаческом использовании этой формулы интег-

рал по Сесвикчной пршюв, параллели осячинват, - коягурным интегралом, охватъшающим все полюса функции t{py.

Полюсами называют значения р, при которых F{p) -. в бесконечность. В случае, когда F{p)=N{p)fMip), полюсами : ются корни уравнения М(р>=0. В теории функций комплж- пд)еменного доказывается, что правая часгь формулы (б) равна сум вычетов es), подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. р

Вшвтом функции в некотором полюсе называют величину, которую уменьшается разделенный иа 2яУ контурный интеграл от э: функции, когда контур прн его стягивании песечег этот ноль Но вычет функции е в простом полюсе р равен дг** Поэтому

Таким образом, используя офатное преобразшаште Лапласа, в формулу разложения (8,61).

2. Запишем ффмулу разложения щт наличии кратных -Положим, что уравнение (р) =0 имеег q простых корней (д, .... Do), корень рг кратности г и корень ps кратности s. -щ

В этом случае ффмулу разложения.запишем следующим образшЯ

N{p) . V (Р ) Рь Д * V

S-1 TNmip-p,yeP-\

Пример 96. Найти сфнгинал = . Корню -а соответству i

оригинал -г-;- - еР=-е . К<иа рО второй кратности соответству т iP)p-а

dT реР 1 ft / еР \ dpbP(P+o)Jp=o dp\p+a}B=Q

/1еР{р+а)-еР\

pS (р+а) - да о о § 8.51. Переходная проводимость. В § 1.15 говорилось о том, ч~ ток i в любой ветви схемы может &1ть представлен в вцде произв* дения напряжения U на входе схемы на собственную или взанмну* прсжоднмость g:

Прн гарехсдаалх вроцвсмх это охггаоокяие также имеет силу. Если на вход какой-3!нбо цепн в момент =0 включается постоянное напряжение U (э.дс. Е), то ток i{t) в любой ветви этой схемы равен произведению постоянното напряжения U иа нроводимосп. gii}:

i(f)=-VgXD. (8.62)

При переходном процессе проводимость является функцией времени, поэтому в (жобках указывается время t; g(r) называют 1креход-ной провсуимостью. Она измеряется в тех же единицах что и обычная щювоаимоаъ.

Если в формуле (8.62) принйп, f/=l В, то при этом /(0=g(0. т. е. шреходная пгнжодтюсп. 1аквн.ли6о ветви схемы численно равна току i{t) в этой ветви йрн поддааоченни цепи к постоянному напря-

Рнс. 8.33

жению в I В. Индексы у g{t) указывают, о какой именно переходной проводимости идет речь. Если ивдексы одинаковы, то имеется в виду ссствениая переходная проводимость ветви, номер которой соо1ветстБует HU(}e, указанной в индексе; если индексы разные, то проводимосп. между теми вегаямн, номера которых указаны в индексе.

Так, например, если источник постоянного напряжения U при нулевых начальных условия? включается в первую ветвь, то ток первой BeTBH ti(0 = (/g,i(0, а ток третьей ветви i3if) = Vg(t).

П)еходную проводимость можно определить либо расчетным, либо опытным путем. Прн расчетном определенни g(t) классическим или операторным методом тек ft-ветви {!ахадят при включещт истоь нпка ПОСТОЯ1ШОГ0 нагфяження в ft-ветвь. Прн определении gtmif) ток ft-bctbh определяют при ишючеянн постоянного напряжения U в т-вегаь. Далее, в полученных формулах полагают Ul Ь. При опытном онредепении переколш пройодамостн ток i (О соо1ве1ств>юц ветви находят путем осциллогра1рования.

В § IJ6 было доказано, что gum-Bmk- Это свойство вытекает нэ симметрии определителя системы ота сительио ТЯткж днягоналн.

Аналогично можцо докаяни.. что оператораве изображение вроваднмйств gi,ipl райю операторному изображению gmkip)- Но если равны изображения двух

переходных etm(0=g

I переходные проводиноста, т. е.