Падение напряжения на Li равно L, +Mj; на

М. При составлении уравнения учтем, что начальное н жеине на конденсаторе равно ис(Щ. Пусть оно действует согл! с током tV Начальное значение тока ii = ti{Q) и тока i,- Имеем

Каждое из слагаемых (8.44) заменим операторным изображаи

jWfMp/,(p)-Mii.(0);

eAt) = Ei{py. es(f)=Eip).

Подставив (8.45) в (8.44), объединим слагаемые с /х(р), fa(p), перенесем в правую часть исфЦр, iiii(0) и другие внугр. Г э. д. с. и получим

А (Р) г, (р) + h (Р) 2 (Р) + h iP) (р) = (р) - (р) + Е (р). (8. j

где Zi(p) = p(Li-M); 2з(р) = р(Л1-1а)-К,; Za{p) = ~: Ed

= (L,-M).\(0) + (-Li,(0)-. .

В более общем виде уравнение (8.46) можно переписать так:

Уравнение (8.47) представляет собой математическую запись рого закона Кирхгофа в операторной форме, В состав Et{p) в с случае входят и внутренние э, д. с.

§ 8.44. Составление уравнений для изображений nyrai i зоваиия методов, рассмотренных в разделе сниусондальиого

Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгнов значений, вытекают соответствующие уравнения для изображен!

Уравнения для изоаженнй по форме аналогичны уравнениям, доставленным для той же цепи с помощью ошвсянческого метода для комплексов токов и наиряженнй.

Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответствующее уравнение для изображений, то все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалвггного генератора, контурных токов, узлсвых потенциалов, наложения и т. п.) можно примашъ и пра составлении уравнений для изображений.

Г)и составлении уравнений для изо-бражений ненулевые начальные условия учитывают путем введения внутренних Х-ч \ 1U L

э. д. е., обусловлашых начальными тока- 1 Т

МП через индуктивности и начальными [ i У \

напряжениями нз емкостях. I - [е

§ 8.45. Последовательность расчета Рис. в.29

операторным етодом. Расчет операторным методом состоит из двух основных этапов: 1) составление изображения uofOMofi функции времени; 2) переход от изображения к функщм времени.

На нескольких примерах покажем, как производатся первый этап. Второй этап будет рассмотрен в § 8.47.

Прнм 88. В схеме рис. 8.29 при ну,левых начальных услсеиях включают ключ. JGoCTaenTb операторные изображения токов и is, пользуясь методом контурных токов.

Решение. Направления контурных токов Iu и Isa показаны на схеме. Имеем:

Jia*+R.(i-in)=a

Переходим изображениям:

/ц (р) (pU + R,+ RJ - (p) R,=E(py. - /.1 (P) Ra+ h, M (R.+) = 0. Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает;

Изображение контурного тока / (р) равно изображению тока ilP); изображеяие М-изображеаяш 1,(р). В (8.4S) и (8.49) Е1р) таь изображЕяие э. л. с. e(t). Еслн <г(() = £, то Е(р) = Е/р; если

е{1) = Е вЩШ+Щ. го Е(р) = Ё у и т. д.

Пример 89. Состарить опат{Ч)ные изофажоиш- токов Щ схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома и Кирхгофа.

Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и I магнкпгосБЯэанных индуктивных катушек, то составить можно проще, чем по методу контурных токов.

Изображение тока

где Z (p) -входное сопрогавление схемы в операторной форме; отношению к зажимам аЬ. Оно определится так же, как вхс сопротнвлапк для першнпюго тока, только ycS заменено на р. Входное операторное сопротналение

Следовательно,

Хай - iucR,+p iLt+RгR)

урамение (8.48) ожпадает с уравнением (8.48).

Найдем изображение /(р). С этой целы© выразим 1а(р) , Ji(j>) и операторные сопротивления второй и третьей ветвей. Восп: зуемся аналогией с першенным током. Для тершенного тока

следовательно, /з(р) = /1(р)-

Если в последаее выражение 1юдставить /j (р) изуравнения (8.41 то будет получено уравнение (8.49).

Таким образом, безразлично, каким способом составлять изо жения токов: результат будет одинаков.

Пример 90, Для схемы рнс. 8.29 составить изображение i жения на зажимах се, если считать, что начальные условия нул( (как и в примере 89).

Решение. Изображение напряжения на зажшлах се равно пх ведеишо изображения тока /з (р) пИ операторное сопротивление ея

§ 8.46. Изображение функции времени в виде отношения N {р1/М i двух полиномов по степеням р. Дли тока Jtx{p) в примере принять ЕЩ=Е1р,

М W=№L,C+p(R,RJO +L+K,+Я J p.

Если в том же 1фйм принять r(Q = £ sin(ei(f ), то Eip)E ± и N{p)==Ea+Rp); М(р) = {р~ Н tp ,L,C + р (ЯгЯС+Ьг) + WJ.

Обозначим высшую ст-пень оператора р в полиноме N (р) через л, а высшую степень р в полиноме М(р) -через яг.

Часть корней уравнения М{р) = 0 обусловлена характером изменения во времет возм>1цающей силы, воздействующей на систему; 1- остальные кср1ш обуслшлены свойствами самой цепи, ее конфигурацией и значениями параметров.

Во всех физически осуществимых электрических цепях при воздействии любых встречающихся э. д. с, всегда < т. Лишь для физически неос>1цествимых электрических цотей п может оказаться равным т. Рис. а.30

Пример физически неосущестиплой электрической цепи, для которой степень п равна степени яг, дан на рис. 8,30, Если считать, что активное сопроиюлшие цепи равно нулю, что физически неосуществимо, то

lJ(Cpi~ р

§ 8.47. Переход от изображения к функции времеин. В § 8.45 указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессш с помощью операторного метода HBJmcTCH переход от изображения к функцни времени. Эту операцию можно осущ(ствлять различными путями.

Первый путь состоит в применаши формул соответствия меяеду ф\нкц1[имч оператора р н функциями ч)еменн. Часть формул соответствия приведена в § 8,39. В научной литературе имеются специ-а.чьные исследования, содержащие большое количество формул соот-ветитаи (1518), охватывягощих все в<):1можные практические задачи. Форм}лами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, если среди ксрней уравнення M{p) = G есть несколько одинаковых (кратные корни),

BrqjoH путь сосгсятт в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения в § 8,49 выведена исходя из предположения, что уравнение M0i = Q не имеет кратных корней (прн наличии кратных Кфней фсрмула разложения записывается иначе -

Третий путь-нЕтесредственвое применение формулы обратного преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. § 8.50).

Формулой разложоп ! цтроко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изо-/ Сражения к функции времени.

Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а затем -после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби Иа Простые -перейдем к вьшоду формулы разложения.

Пример 91. В схеме рнс. 8.31, о ток источнтса тока линейно нарастает во времени: 1[1)=2,Ы. А (рис. 8.31,6); Я=40 кОм, С

=ь=2 мкФ. Определять закон нзметашя во вршени тока, ii сопротивлетие.

Решение. Изображение тока равно (см. (

12 § 8.39). Сопротивлетне паралтельио соединенных Л и С

Изображение тока через R

ЛИ-R-= E-fcTg.

где о-1/(ЯС)-12,5 <г\

Согласно соопоикпию 8 § Ъ.7&,

i,(()=2,5p-0,08(l -е- Я А. Пример 92. В схеме рис. 831,в u(ft= ЮОе- В, где о-ОЛ J

= 2 См; i 4 Г. .

Найти tf(l) н tiiHt), а также значения I и uj при Решение. Согласно соотношению 2 § 8.39, функции е-* <

вегствует изображение 1/(р+а). Следовательно,

t;(p) 100

1W 1

- t (р+оХр+Ч

S=25 А/с: Ь,Ь=о,6=о,/0>)-т;--ij.

По СХХШЮ1ШЯМ0 5 § 8.39, jjqrgiH<e- . Поэтому i(0=s26(e- . Напряжение на индуктивности

Прн <-1с /-25-1-е- -15,15 А; щ-100е- (1-й -30,3 В. / ,

§ 8.48. Разложение сложной дроби яа простые. Из курса ма1 ма-тнт известно, что дробь

iVW Д, -д.-l--...-Дl!-., W < , -H m-,Jf- -b...-HV-Hl.,

(8.61)

f8.53)

I при условии, ЧТО n<m й полином Mix).о не имеет кратных кор-ней, может быть представлена в виде суммы просшх дробей:

гае ягй-ксчжи уравнения Al(je)=iO.

Для сяфеделекин коэффиодеята Ai умножим обе части уравнения (а52) на (л;-Jti). Получим

Рассмотрим выражение (8.53) при х-*-х,. Правая часть уравнения дает Ai, левая представляет собой неопредслеииосгь, так как множитель {х-х при x- -Xi дает нуль и знаменатель Л1(л при x=-Xi тоже дает нуль (rf, есть корень уравнения М(х) = 0].

Раскроем неситределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя . и иа{щем предел дроби:

tat jM(х) - производная от М(х) по х; Al{jtJ-знатение Мр при x=x,i W(*j)-значение W(ji) при л:=ж,.

Следовательно, из (8.53) при x~ -xi получаем ураввенне

N{xm{x=At, (8.54)

At=N{xfM{xj;).

Аналогично,

Таким образом.

(8.55) (8Лб)