Таким образом,

jm.ai=pF(p)-m.

dimt=pF(p)-fiai.

§ 8.35. Изображение иалряжения на нндуктивностн. Изображеч тока i рно 1(р). Запишем изображение напряжения на 1щпукп ности;

По формуле (8.33), di/dt р1{р)- i (0), где i{f3\*- значение i при / = 0.

Следовательно,

L-%=LplWl -Ы(0).

Если i(0) = 0, то

§ 8.37, 1

мулу

L=LpHp). ражение второй производной. Без вывода дадим

£рт-рт-[Щ,.

Следовательно, изображение вторсж производной тока i

§6ЖИзображениеинтеграла.Требуегся найти изображениефункв \fitjdt. если известно, что изебражгаие нквш fit) равно F(p). i

Подвергнем функцию \f{t)dt пре0Е1азсванию Лапласа:

j- jnOdt dt=~lj f(t)dt

,d(erP).

... f (OJ пишем i (0); i (0) может Сшь и i

жительиой и отрицательной величиясй; г (0) полсжительно, когда напрзр тона сокпалает с лроиавсьльио выбравиьпя пвложятелыаш изпраление.ч i жсшиугацисшиого тока В ивдуктивиостн L.

Примем 5f[0<W=i2; d{e-=dv и возьмем интеграл по частям:

( -I го

J>(Orf/Je- J

Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и ияж-вего пределов дает нудь. Прн подстановке верхнего предела нуль получаетел за счет ранее наложенного ограничения на функцию f{t) (см. § 8.32): функция fit) если и растет с увеличением то все jre медленнее, чем растет функция е , где а-действительная часть р. При подсгановке нижнего предела нуль получается за счет обращения

Б пуль \f{i)dt. Следотаклыю, если /-(0= (р), то

fif)di=Fip)/p.

(8.35)

§ 8.39. Изображение напряжении на конденсаторе. Напряжшш на ковденсаторе цс часто записывают в виде Uc=~idt, где ие указаны пределы* 1гаТегрирования по времени. Более полной является

следающая запись;

с = ис(0) +

idt.

где учтено, что к момету времени t напряжигае иа кояденсащж определяется не только током, прогекиим через конденсатор в ннтер-ва.ае времени от О до /, но и тем.напряжением Ыс(0), которое на нем

бы.го при ( = 0, В соответствии сформулой(й.36) изображение /сИ

равно а изображение постоянной Ис(0) есть постоянная, делен-

ная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают слерукявдм сйразом:

* Для сокращения записи вместо и(0 ) пишем U(.(0); 0,(0) может ель и Положительной и отрицательной величиной. В формуле <8.37) и{0) берется юоло-ипелькой величиной, если направление напряжении u(-(0) совпадает с произвольно в

оцдеьсатор.

м послекоыиуташонного тока через

приведем простшие опаторные соотношеаия; частьих, выведена ранее, другая дается вывода:

5- ет--

II 1 ~ I I

§ 8.40. Некоторые теоремы и предельные соотиопеиия. 1. Тес

смещения е области оригиналов Шорема запаывания). Если нэ , жение функции f({) равно F(p), то изображение функции - равно e- f(p). 4

Теорема доказывается путем подстановки т) в формулу i образования Лапласа в введения новой перемешюб f-т=/ dt = J\ е-Р=е-е-р>:

ег?7р--1)ат=е*е-Л/(у<1=е-*/(р). о о

пример ва применение теоремы см. § 8.50.

2. Теорема смещения в области изображений. Если изобра функции F(p) соотвегсгвует функция /(f), то изображению Р{р - Ц- функция ёЩО. 1

Доказательство производится путем подстановки функции е в формулу преобразования Лапласа:

[ e-fxf (t) dt = l e-zp-if ( (tt=f (p - Л).

Примф 87. Найти оригинал l/(p-f ). если известно, что 1/р= Решение. l/(p-\-We4.

3. Теорема об изменении масштаба {теорема подобия). Если цви l(t) соответствует изображение F{p), то функции /(а/) - кение F(f).

Теорема доказывается слещюшнм образом:

4. Нахождение начального знанения функции времени f (0) /ю-Мзо-бражению функции Г(р):

/(0)=JimpF(p).

Это соотношение получают. txjiR в (8.33) р устремим к бесконечности. При этом левая часть (6.33) равна нулю:

Б. Иахоэкденае усггшно&шиегося значения функции времени /(со) по изображению функции F(p):f{oo)= Пт рГ (р).

CooraouKHiie получим, если в (8.33) р устремим к нулю и учтем, что ерЛа = I. Будем иметь

jd/(()=/(oo)-/(0) = lim pF(p)-/(0X или f {t) = ImpF(p).

Если Искомая функция /(Q в nocjteKOTm

, - юи режиме содержит в своем составе периодическую составлямцую (принужденную нли свободную), то поия-тае/(кэ) для лее оказывается неа1ределенныи. Например, ие имеет определенного смысла функция яп orf прн lco. В соответствие с этим к цепян с сиш/сО-идв.гьными исттншшми не следует праменнть предельное соотмяташе п. 5. Точно ТЭК же не следует применять это соотношение к цспя-ч без синусоидальных ксточ-нилов, если эти цепи чш:то реактивные я ие содержат активных сшротнвлеивй.

Так, при подключении йоследалятельно соединенных L в С (при нулевых начальных условиях) к еданячншу напряжению I (/) по цепи протекает свободаая составляющая тока.-ч сленно равная C/L dnZ/ILC. В этом случае онределять /(со) как limpfjp).также ие вмеет смысла.

§ 8.41. Закон Ома в оператор-

ной форме. Внутренние э.д.с. На

рие. 8.2G изображена часть сложной разветвленной маарическон пепн. Между узлами с и Ь этой цепи включена ветвь, содержашдя R, L, С и источник Э.Д.С. e{t). Ток по ветви обозначим через i.

Замыкание ключа К в схеме приводит к пжходнсму процессу.

До коммутации ток t=i(0 ) н напряжение ва ксжденсаторе uc = = 0(0.).

Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для после-коммутацвошюго режима;

Рис. 8.26

9а=Фб + с+ 1Ч- я - г (0; и = Ро - Ф*= я+ 1+% - е (0.

e-p/(ctOd/=Je fiaf}d{at} = ~F (). Вместо oz запишем L~, вместо Uc запишем Ис(0)+ J*.

Тогда

Ил = Ш+i 1- + (0) + f >Л - с (0. (8.1

к уравнению (&38) лрнменпм преобразование Лапласа. Прх зованне Лапласа является линейным, поэтому изображенпе -равно сумме изображений.

Каждое слагаемое уравнения (8.38) замешнл операторным их зкением;

вместо iR запишем Д/(р): вместо и ь запишем 1/ б(р); L = LpHp)-Li(Oy, ист Получим

t/a. (Р) = f iP) + Р- + - (0) + - (Р)-

Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо я ференцнального уравнения (8.38) получили алгебраическое уравнр (8,39) связывающее изображение тока /(р) с изображением э. j £ (р) и изображением напряжения l/ t (р). Из уравнения (8.39) Г дует, что

(rt+if (0)--+ £ (Р

. --гГ-< -1

где Z(p) -/?-l-pL4-~j--oncpam(VW£W сопротивление участка между точками а и -6, Структура его аналогична ст]1уктуре комн.* сопрогивлеиня того же участка цепи переменному току, если /to э ннть на р (ср. с § 8.13).

Комплексное число p=a+lb (си. § 8.32) запишем в виде p=f ф~}а}= rjK Qb-ja-KoxnjuKrKtm частота; Z(i==Z(/C)-сопротввленне, окаэъоч рэссматривз цепью возлейстаню Od*=Ci. подобно тому, как Z (juq i сопротивление, оказываемое адрйствию е? .

Уравнение (8.40) может быть названо законом Ома в с форме для участка цепи, -содержаниего э. д. с. Оно записано при i левых начальных условиях.

Слагаемое Li (0) представляет собой внутраипою э. д. с, < ленную запасом энерпш в магнитном поле индуктивности L вследем протекания через нее тока i (0) негюсредсшенно до комм1тации.

Слагаемое Нс(0)/р представляет собой внтроиоою э.д.с, обу.-ленную запасом жергни в электрическом папе конденсатора всле*т наличия напряжения на нем иЩ непосредствемно до ксымутан

В соответствии с формулой (8.40) на рнс, 8.27 изображена с торная схема замещения участка цепи рнс. 8.26. Операторные с тивления R, pL, ЩСр). Как следует нз формулы (8.40), внутрен

э д. С- (*) иаправлаю {шласно с ваврг& няя э.д.с. ис(Щ/р-встречно току Цр).

я тока 1(р), внутрен-

Ч . g Q Q , Q /f

В частном случае, когда на участке аЬ отсутствует э.д.с. е(0 и к моменту коммутации г(0) = 0 и псЩ - уравнение (8.40) приобретает более простой вид:

IlP) = V.i>(p)/Z{p).

(8.41)

Уравнен11е (8.41) есть математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи, не содержащего э. д. с. и при нулевых начальных условиях.

§ 8.42. Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновашых значений токов, сходящихся в шбом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схиыы рнс. 8.26

Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и восполь-земся тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Имеем

Д. общем случае

А(Р)+/(Р)+4(Р)=0. 2/(Р)=0.

(8.43)

Уравиэтие (6.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной фо1 1е.

§ 8.43. Второй закон Кирхгофа в оие-раторной форме. Для любого замкнупих) контура любой электрической цепи можно составить уравнспие по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений. Предварительно необходимо выбрать положц;. тельные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.

Запишем уравнение по втсхяу закону Кирхгофа для контура рис. 6.28. Контур обходим по Часовой стрелке.

Учтем, что индуктивности L, и 1. связаны магнитно. Прн выбранных положительных направлениях для токов Il и ig ыежду Li и Ч имеет место согласное включение.

Рнс. 8.28