Решение второй части задачи. По данным, полученн * при ринении первой части,

аар = 0,1085 sin И-5845), (,(0+) = -0,0487 А; 2св(0,) = 4.74 АЛ:; с;,р-26,7sinН-3540), ucc (0.)= 15,57 В; ,(0J = -876 В/с.

Корин характеристичеоюго уравнения те же, что и в предыдуш примере. Определим Л и v для i, составив два уравнения: Л sin V - 0,0487; - М sin v + щА cos v = 4,74,

откуда Л = 0,184 А и v = - 1520*. Следовательно, -

h = Uvp + IacB 0,1085 sin (lui - 5845) + +0,l84e- . sin(15,2/-15°20) A. Найдем Л и V для пссв. составив два уравнения:

Л sin V = 15,57; - бЛ sin v + аЛ cos v = - 876.

Их совместное решение дает Л = 21,3 и v = ISSSO. Таким образом,! ис= с.р+ сса-26,7 sin И -35°40)+21.3е-*г.> sin-(15,2f-j-13350) В.

§ 8.28. О переходных процессах, при макроскопическом рассмот-. рении которых не выполняются законы коммутации. Обобщенные! законы коммутации. На практике ветре-1

.чаются схемы, переходные процессы в ко-,1 торых состоят как бы из двух стадий рез-J ко различной продолжительности. Хулитель-1 ность первой стадии в тысячи и миллионы 1 раз короче второй. В течение первой ста- 1 дин токи в индуктивностях и напряжения J на емкостях изменяются настолько быстро 1 (почти скачкообразно), что если считать 1 t = 0- нача.том, а i = 0+- окончанием первой стадии, то создается.! впечатление, что при переходе от i=0 к =0+ т. е. за время, на-i пример, в несколько MHKpoceKjTifl, как бы нарушаются законы ком- 1 мутации. , j

Вля иллюстрации нарушения второго закона коммутации рассмот- Л рим nq)exojyuirii процесс в схеме рис. 8.24 с нача.тьными услганями i ис,ф-)Е, с,(0-) = 0.- Л

Если ие учитывать хотя и очень малое, ко все же конечное солро- J тивление соединтельиых проводов, то сначала при замыкании ключа! через ксвденсаторы возникают очень большие броски токов, прохож- I денне которых приводит почти к мгновенному уравниванию напряжения i на конденСзгорак до величины, меиьшеГГ Е. (Строго говоря, еслиЗ учесть сопротивление соедшительных проводов Rp, то для первой! стадии переходного процесса в схеме рис. &24 характеристич<

Piic.

павнение есть уравнение второго порядка, один корень которого при 1 >.0 стремится к бесконечности.)

Поспе этого начинается вторая стадия, когда параллельйо соеди-денные конденсаторы относителыю медленно заряжаются до напряжения Е. Длительность переходного процесса практически определяется второй стадией.

В качестве примера нарушения первого закона коммутации рас-сшгрим переходаыи процесс в схеме рис. 8.16. Бьктрое размыкание ключа в первой ветви, например за 10 с, приводит к тому, что сопротпвлашетрй ветви быстро увеличивается, ток почти скачком уменьшается до нуля и почти скачком изменяются токи в остальных ветвях. Таким образе**, за время 10 с (от tO. до i=0+)

ветвях. IBKHM ооразсял, за время lu- с (от iu до i=0+) токи резко изменяются, а /(0)91(0-) и й(04ФнФ-У

Нарушение законов коммутации в формулировке § 6.5 - 8.6 при гкреходе от i = 0 к /0+ объясняется тем, что процессы в быстро протекающей первой стадии и их зависимость от времени не рассматривают. Если же первую стадию ие исключать при рассмотрении, ю ранее рассмотренные законы коммутацпн выполняются.

Для того чтобы можно бьию рассчитывать переходные процессы сразу ео второй стадии, как бы перешагнув через первую, надр, во-первых, примириться с тем, чю при переходе от t0 к f=0+ в рассматриваемых задачах законы коммутации в том виде, как они сформулированы в § 8.5 - 8,6, не будут выполнены; во вторых, договориться об исходных положениях, которые позволяют определить значения токов .через индуктивности й напряжений на емкостях (а если потребуется, то и их проижодные) при t=0+ через .чьачения токов и напряиаяив при i=0 . Таких положений {прави.ч) два. При решении задач рассматриваемого типа оин заменяют законы (правила) коыму-ташш, о которых шла речь в § 8.5 - 8,6, и потому их называют иногда (обшыии законами {правилами) коммутации,

1. При переходе от (= О, к (= Oi суммарное.лютокосцепление £ф каждого зам1шутого контури послекстшотациоцнои схемы не должно прегерпетать скачкообразных изменений. &то положение следует из второго закона Кирхгофа и доказывается от противного: если допустить, что некоторого коитура изменится скачком, то в уравнении для этого контура, сдставленЕюм по второму закону Кирхгофа, появилось бы слагаемое (AS ф/ДОл-о оо и второй закон Кирхгофа йе был бы выполнен.

Суммарное покжоадапление 2Ф представляет собой алгебраическую сумму произведений токов ветвей этого контура на их индуктивности (в общем случае с учетом магнитной гаязн с другими ветвями). Со знаком плкх в эту сумму входят слагаемые ветвей, направление токов в которых совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура.

2. При переходе от i = 0 к i = 0+ суммарный заряд на сбклад-ках кондеясатдкж, присоединенных к любому узлу послекоммутациок-ной схемы, должен остаться неизмнишм. Если этого не выполнить, то суммарный ток, проходящий через конденсаторы, был бы бесконечно большим (стремился бы к бесконечности), бесконечно большими были

бы токи и через другие ветви, присоединенные к этому. ] также привело бы к нарушению второго закона Кирхгофа.

Пример 85. Послекоммутащюнная схема рис. 8.16 имеет bcJ один контур. По первому закону (нраввйу) коммутанли, и {0-)+L,k(0-) = i(0+){L +L,); Ub i (0,) = [!/(/. + Ш [II (0-)].

Закон изменения тока при iO, если считать, что докоммута 1 был установиБшдйся режим.

Пример 86. Для схемы рис. 8.24 нзбсстбы с, (0= и сЛО-)= По второму закону (правилу) коммутации составляем оцно уравнеЛ (т. е. столько, сколько надо составить уравнений для послекомм-,- цйониой схемы по первому закону J<ipxroфa): c.(0 )Ci = c(OJ(Ci+Q;

отсюда

, ис (0,)= с. т = Ис, (0) = с:+ При iOj.

Характер изметения uc, и не* показан на рнс. 8.25, а и

В заключение обратим внимание на то, что, допустив при г---

от ( = 0 к = 0. скачг-

Рис. 8.25

изменение токов через индукт! сти и скачкообразное изменение i пряжений па емкостях, тем < допускаем скачкообразное ние энергии магштюго п( дктивностеи и энергии элект] ского поля емкостей.

Суммарная анергия скйго и магнитного полей при t

всегда меньше суммарной энергии при i = 0 , так как часть запасенн энергии расходуется на тоьяотые потери в сопротвлашях, искру г коммутации, электромагнитное излучение в окружающее нростран-

Прежде чем перейти к изучению основ второго метода переходных процессов в линейных электрических цепях -оператор метода, вспомним некоторые извеспвл положения.

§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Извертно, что выполнения операций умножения, деления, возведения в с извлечения корня и:* многозначных чисел цачесообразно пользсваг логарифмами.

Действительно, операция умножения сводится к сложению ло риАЮв, операция де.1 шя-к вычитаншо логарифмов и т. д. Tai4

образом, произвести расчет легче в силу того, чтосравнительнослож-яая операция сводится к более простой Каждому числу соответствуег свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифи при основании 10 числа 2.

§ ё.ЗО. Комплексные изображения сииусо!

-------IX функций.

с понятием изображения встречаются также при изучении символического i mta расчета цепей сниусоядаяыюго тока. Согласно символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так, есть изображение сннусоадального тока / sin(wi+). Между поражением чнсла в виде логарифма и изображением синусетщальнои функции вршенн в ви,1е комплексного числа имеется существенная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (ие функции), во втором -об изображении функции времени.

Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных пгюбрджений снкусои-дачг.ных функций времени позволило упростись операции над функциями Бремени (свести операции по расчету цепей синусоидального тока к операциим, изученным в гл. 1).

§ 8.31. Введение ж опЧ)аторному методу. Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе кавдой функцни времени соответствует функция новой псремешюй, обозначаемой буквой р, и наоборот - функции пзшеднон р отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времеин к функщш р осуществляют с помощью преобразования (прямого) Лапласа,

Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании

Операторный метод позволяет свести операцию дифференпнроваяия к умножяпио, а оперицию интегрирования -к делению. Этоойтегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

§ 8.32. Преобразование Лапласа, Условимся под р понимать

комплексное число

p==a+jb, (8.24)

где й-действительная, а -мниман части комплексного числа , (Б ряде книг вместо буквы р пишут s).

В далшейшеы в соответствии с установившейся практикой коэффициент Ь с учетом знака условимся называть не коэффициентом при инимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, э. д с, заряд) обозначают /(i) и назыв;1ют оригиналом. Ей соответствует нкЦия f (р), называемая изображением, которая определяется спедуюцдам образом;

f(P) = b - (825)

Соответствие между фувкилями F(p) и f{t) записывают так:

Знак = называют знаком соответствия. Верхний предел интеграла (8.25) равен беско1 шоств. 1 нерхним пределом называют

Таким образом.

в результате интегрирования и подстановки пределов получгйот ное число {ие бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.

В курсе математики доказывается, что интеграл (8.26), в г- которого входит функция е-ре-е сходится только в том С когда модуль функции если и увеличивается с ростом t, i же медленнее, чем модуль функции еР, равней е.

Практически все функции /(0. с которыми имеют дело в i ТОЭ, этому условию удовлелкряют.

Найдем изображении некоторых простейших функдай.

§ 8.33. Изображение постоянной. Труегся найти изображен функции f(t) = A, где Л -постоянная величина. С этой цельюв(8.: вместо f{f) подставим А и провепнл интегрирование:

Следовательно, изображение постоянней равно посгоянжЛ, д. ной на р:

А = А/р.

]аряду с преобр; широко ПОЛЬЗ] го Каргану-

Лапласа (8.25) в научной н утабнон J

1разовакием Карсона-Хевисэйда. Прн е-----

принимают

По Карсону-ХеввсаЛду, изображение и оригинал ммаот одинакмую рач :ть, а изображение поотоянной А равно самой посгаякиоб.

о Лапласу, i

[ ве равна размерпчств н

i А равно Afp.

Следует отметить, что основная заслуга в разработке нитегра эованив нкцип в функцию р принадлежит Лапласу. Карсон н 3 добавилн к преобразовагнию Лапласа лишь нормирующий ыпожнтель р. бл Ш1 чему оригинал и изображение стали иметь одинаковую размерность.

§ 8.34. Изображение показательной функции е. Вместо , в (8.25i подставим е ;

f (Р) = I ee-frfi = е-* > rf/=(-е: d [-* (р - а

=1/(р-а).

(8.28)

При выводе формулы (8.28) (при подсгавсжке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р болыпе, чем а, т. е. а>-а. Только -при этом словии интеграл сходится.

Из формулы (6.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней a = /to, получим

е =1/(р-/<о). (8.29)

Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплекса синуссждалыюго тока:

С этой це.1ью обе части (8.29) умножим на постоянное число Патучим

>--- (МО)

Аналогично, изображение комплекса сивуоядалыюго напряжения

Функции t

сосгветствует изображение l/(p-J-a): e- Hl/(p+a).

(8.31)

(8.32)

§ 8.35. Изображение лервой

Известно, что функ-

ции f(i) соответствует изображение/(р). Требуется найти изображение первой производной df{f)/dt, если известно, что значение функции f{t) при V=0 равно (0).

Подвергнем функцию df(f)ldt преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозва-шв е- =и и d Г/ №]= = *, имеем

Оедовательно,

/

Но °

е- По=О-/(0)=-А(р),