Если угловая частота свободных колебаний в точности ран угловой частоте источника синусоидальной э. д. с. м,- то результнр шее колебание имеет форму, изображенную на рис. 8.13. -

Рис. 8.10

Рис. 8.11

Простейшим примером колебаний такого типа является колебание, возникающее на емкости в схеме рис. 8.14 в результате сложения

принужденного колебания t/cmcoswf и свободного колебании

Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспоненциальному закону.

Рнс. 8.14 Рис. 8.15

При наличш! емкости (емкостей) в схеме могут возникать большие начальные броски токов, в несколько раз превышающие амплитуды тока установившитея режима. Так, в схеме рис. 8.15 при нулевых начальных условиях в nqiMrii момент после замыкания ключа напряжение на емкостях равно нулю и ток в неразветвленной части цепи равен sin Если ф = 90°, то в первый момент посне замыка-

ния ключа ток равен UR. При размыкании ключа в инд1ктивнык цепях возникают опасные увеличения нагфяжения на отдельных участках цели (см. § 8.24).

§ 8.23. Переходные процессы, coi

(ающнеся электрической

искрой (дугой). Если переходный процесс вызывается размыканием ключа в электрической цепи,*- содержа-шей индуктивности, то между его расходящимися контактами при определенных условиях >1ожет возникнуть электрическая искра (дуга). При возннкноветт электриче(жой искры (irn) расчет переходного процесса усложняется и, строго говоря, ие может проводаться методами, изучаемыми в д2Н1юй главе. Объясняется это тем. что сопрогивленне электрической искры (дуги) является нелинейной функцией протекающего 4qie3 нее тока. В этом случае, если известна вольт-ампная характеристика д>ти, для расчета переходных процессов могут прнметяться методы, излагаемые в гл. 1б.

Рйс. 8.16

Пример 79. Выяснить, мошю ли ожвдщъ возникновзи (щги) при размыкании ключа в схеме рис. 8.(6.

Решение. До размыкания ключа п цепн был усгэи

ктрцческоб искры

Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток /( почти мгновенно спадает до нvля, а ({0J должен будет равняться i i,{0). Но каждый из токов (( jh ia) по первому закону коммутации не может измениться

Следовательно, между досгаточнб медленно расходящимися кокгактамя ключа Ч схеме рнс. 8.16 при определенных условиях можно ожидать возникновения электрической искры (дуги). Расчет пepexoдrfoгo процесса в схеме рнс. 8-16 см. в § 8.28.

§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей Б ценях, содержащих индуктивность. При размыкании ключей в эла{трнческих цепях. сод)жащих значительные индуктивности, на отдельных участках электрических цепей могут во1никать напряжения, во много раз превышающие устансеившиеся. Напряжения, превышающие уставовившнеся, называют перенапряжетшми. Они люгут ок£-заты:я настолько значительными, что при определенных условиях вызовут пробой изсляцни и выход из строя . змерительнсй аппаратуры.

Пример 80. к зажнглам индуктивной катушки с Я= 1(Ю Ом, £. = 10 Г подключен boSmikip (ртгс. 8.17). Сопроптлгаие вольтметра =3000 Ом; Е=1Ш В. Приближенно найти напряжение на зажимах вольтметра при (=0, если двпу-сгить, что размыкайте ключа произойдет мгновенно и искры не воэнвкпет.

Решение. До размыкания ключа через L проходит ток =.E/fl=l А. В н1Щуктивиостн была запасена магнитная энергия L */2 Если донустить. чго размыкание ключа произошло мгновенно и искры не возникло, и учесть, что иж через индуктивность должен оставаться равным I А. то по замкнутому контуру, состгвлеаному вольтметром и катушкой, за счет запаса энергии магнитного поля

жпдуктавиоств Б первое ыгвсвеиие будет прохоя>*ть ток в 1 А. При stoi вольпегре возникнет гик ваиряжеиин порядка 2000 В- Прохояикине болы импульса тока через вольтметр может вызвать перегорание кэтуижн ирвбора н выход его нз строя..

При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися контактами (рис. 8.17) возникнет электрическая нскрэ (д>та). Это приведет к тому.

что увеличение напряжения иа вольтметре Су- дет меньше, чем в только -что рассмотренном идеалипиронаниом случае, когда ключ размыкался мгновенно без искры (д\ти) *-

Чтобы не сжечь вольтметр в цепи рж. 8.17, сначала надо отключить вольтметр, а затем рйпомккуть ключ.

Перенапряжоикя проявляются тем сильнее, чем больше ннлуктивностн в цепях. ОсоСснно р о ,7 опасиы они в иепяк тюстоннноге тока, содер-

жащих индуктивности порядка единиц и десят-

кой генри. В таких цепях Щ1И отключениях соблюдают специальные меры гредосторожностя (отключение ключа после введения дополнительных активных сопротивлений в цопь),

§ 8.25. Общая характфистика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов в любой линейной электрической цепи состоит нз следуюищх основных операций;

1) выбора положительных направлешй токов в ветвях цепи;

2) определения значений токов к напряжений иепосредаггвенно до коммутации;

3) составления характеристического уравнения и onpccieHDH его корней **;

4) получения выражения для псксных токов и напряжений как 4-нкции времезш.

Широко распространенными методами расчета переходных процессов являются:

1) метод, назынаемый в литературе класспчеашм;

2) операторный метод;

3) метод расчета путем применения штеграла Дюамеля.

Для всех этих методов перечисленные четыре операцШ! (этапы-расчета) являются oбязaтeльнымIL

Для всех методов первые три операщн! (о инх уже гморнлос! совершаются одинаково и их нужно рассматрттать как общую для всех методов часть расчета.

Различие между мето/ами имеет место на четвертом, наиболее тру--доемком этапе расчета.

Чаще используют классвчеодай и операторный методы, реже метод расчета с пряменшием интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут .

При более детальном рэгсмогрснвн гроцесса необходимо еше учесть вяня-чне меквитковых емкостей и емкостей нл ;*смлю (см. § ]].. Если яс учитывать возинкновенне искры (jiyrn), pnciнаделенные лкостн и индуктивности, то приведенный расчет является весьма грубым и носит иллюстративный характер.

* К к определять корни хзрактеристмческжх уравнений высоких степеиеЙ . (4-6-й степстн), сказано, например, в кн.: Попов Е. П. Днаамика састев автоматического регулировании. Гостехиадат, 1954.

даны сравнительная оценка и рекомецдутан область применения каждого из инх (см. § 8.56).

в радиотехнике, вычислительноП и импульсной технике, автоматике, телеие-xaniw в техиике, связанноП с теорией информации, кроме этих трех методо римсниют метод анализа переходиых процессов, основывающийся па интеграле фу]>ье (Об интеграле Фурье н спектральном методе, осиовывающсмся на интеграле Фурье, см. гл. 9.)

В задачах автоматического регулирования применяют также метод трапеце . яальиык частотных характеристик, в котором используют вещественны!! частотные характеристики (об эгом методе см., например, гл. 3 [Щ). Д.тя исследования характера переходного процессе, опнсывйсмого уравнениями высоких порядков, применяют моделирующие установки, а также метод иростракства состояний (см.

§ 8.26. Определение класснческого метода расчета переходных процессов. КАшуическим штодоя расчета переходных процессов называют метод расчета, в котором решение днффдэищнального уравнення представляет собой сумму принужденной и свободной составляющих, а определение постоянных интегрирования, входящих в выражение для свободного тока (напряжения), проюводят путем совместного решения системы линейных алгебраических уравнений по известным значениям корней характеристического уравнения, а также по известным значениям свободной составлякнцея тока (напряжеш1я) н ее производных, взятых при / = 0.

§ 8.27. Определение I

интегрирования в класшческом

методе. Как известно 1н пpадJдyщero. решение для лиго свободного тока (напряжения) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу к(фнен характеристического уравнения.

Так. при двух действительных неравных корнях

при трех действительных nqiasHMX KqiBHx

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно пайтн: I) числопое значение искомого свободного тока при / - О, (зна-шм ею tV (0+); 2) числовое значение первой, а если понадобится, то и высших произподных от свободного тока, нзятых при 0+. Члсловое значение первой проязводнон от св(дного тока при /-0. обозначим i; (0+); второй -((О ) и т. д.

Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования Ау, Az, полагай известными 1са(0+), и(0+), ЦвФл) значения корней pi, р,. ...

Еслн -рактернстнческое уравнение цели представляет собой уравнение пжой степени, то iAe . Постоянная интегрирования А определяется по значению свободного тока +): A-i.JM (8.15)

Для студентов укааанпык специальностей изучение вопросов, саязаниых с ЮТегралои Фурье, обязательно.

Если дано характеристическое уравнение втсюЭ степени и корни действительны н ие равны, го

св = Лер. + ЛеР. (8.16;

Продифферешшруем это уравнение по времени:

Запишем уравнения (8.16) и (8.16) 1фи /=0 (учтем, что при (= е . = ер=1); получим:

<с(0=л+Л; (8.17)1

;в(0+)=йА+рзЛ,. (8.17)

В этой Системе уравнений известными являются 1,(0, iciO), рЛ и Ра; неизвестными - Л, и Ла-

Совместное решение (8.17) и (8.17) дзет

pi-pt

Л, = г (0.)-А.

Если корни характеристического уравнения являются комплексно- сопряженными, то свободный ток

( = e- sin(fi e/+v). (8.18) j

Угловая частота щ к коэффициент затухания б известны из реше- j иия характеристического уравнашя. i

Определение двух неизвестных А н v произюдят и в этом случае по значениям ( (0+) и ( (О).

Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим

ic- - Л6е 81П (aj -{- v) +Лсй е-в cos (ч> 1 + v). (8.18) :

Запишем уравнение (8.18) лрн t = 0

la (Oj =-лб51п v -f cos v.

Таким образом, для нахождения неизвеспшх А к\ имеем два уравнения:

r.b(0,) = sinv;

Для дапи, ш*ющей хактеристическое уравнение третьей степени, 1 Свободный ток я

, = AJ& -{-A&Ae.

(8.20)

Найдем первую, а затем вторую пршзводаую от левой н гшавой . частей уравнения (8.20):

i=plAi-\-/f,A-i.pJ.

(8.21) (8.22)

Запишем (8.20), (&2I) н (8.22) при 1=0

1с (0;)=Л+Л+Л;

(0.) - pHi+РИ.+РзЛз; (8.23)

<о,)-р1Л+рЛ,-1-р зЛ,.

Система уравнений (8,23) представляет собой систему трех линей- рых алгебраических уравнений с тремя неизвестными: Л А и Л-, Все остальные входящие в нее величины [р, р, р, кАО), i b(0+), iiO)] нзвесгаы.

Вначале для облегчения нахождения величины и ее производной nwi i = О рйсомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С н только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину черю найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета пфсходных процессов классическим методом I *Ji> Ih

Б цепях первого и второго порядков.с исгоч- -г-с \\/fj

никам>1 постоянной н синусоидальной э. д. с. при ненулевых начальных условиях.

Пример 81. В схеме рис. 8.18 до замыкания ключа был установившийся режим: ;=?;=i?J,=50Oм;C=100мкФ; £-=150В.

Трйуется: 1) навхи полные, принужденные и свободные составляющие токов i 1я, 1в и uc при / 0, а также начальное зиачение пр 1зводион от свсбодиого напряжения на емкости; 2) определить токи ij, ij, ig и напряжение с в функции времени.

Решение первой части задачи. До коммутации

i,(0 ) = 0 и i,(0 ) = i8(0-) = £/(Ri + +?8)=l50/150=l А.

Напряжение- на. емкости равнялось напряжению на сопрсгшвле*

НИИ щ:

c(Oj) = is(0-)Ra = 1-50 = 50 В.

Найдем принужденные значения токов н напряжений после ком-мутации:

1.р=з,.р = ВД + з) = 150/190=1,5 А;

c4.(0J = f ,p(0.>/?,= 1.5-50 = 75 В.

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой н второй ветвями при ( = 0+:

Рис. в.18

Поэтому

1А0Ж-Ь с{0) = Е. но c(0+) = uc(0-).

Из уравнения с(0+) = /з(0+)Кэ получим

Ь(0.)= с(0.)/Лз=* А.