l+Ш

Уравнение (8.10) совпадает с уравнением (S.ID), составлениш Уравнение (8.10) получено путем использования выражения для входн: сопротив.тения первой ветви схемы рис. 6.4, о отиоснтелыю зажимов аЬ. То< такое же уравнение можно получить, если записать вьфажение для входното противления любой другой ветви.

Отдельно рассмотрим вопрос о возможности сокращения числителя и знам

теля 20=-д иа р. Как правило, сокращать числитель и зааменатель и ложно, тесе же не всегда. Сокращение на р допустимо для схем, в катар исслепуеная величина нз физическик соображений пе может содержать незатух щую свободную состзвляищую. Если же исслцуемая величина в рассматртаа схеме ыожет иметь незатухающую свободную сосгавляняцую, то сокращать чис. тель и знаменатель Z(fH кя р {с. е.терять корень р=0) нельзя. Для иллю. i ции иедопустамосш ,сокращения на р рассмотрим два примера. В послексим, ционной схеме рис. 8.4, 6 имеется жонтур -вз индуктивностей без активв сопротивлжин. В нем тесретнчески может протекать незатухающая составляющая тока, которая ие будет учтена в решении, если сократить и знаменатель Z(p)=--i на р. В схеме рнс. 8.4, в, дуальной

рис. 8.4, б, после коммутации на емкостях возможно вознимюваше равных величине и противоположно направленных незатухающих свободных составляю напряжении. Свободный заряд каждой ошостн ие ыожет стечь через сопроти-ние R, так как этому мешает вторая еткость с противоположно направлеи незатухающей свободной составляющей напряжения.

Дпя схемы рпс. 8.4. в характеристическое уравнение получим, прира . нулю входную прсвсдимость относительио зажимов источника тока:

Здесь g=IW.

В качестве примера цепи, для котой можно сокращать числитель и зна натель Z(Pi па р, приведем схему рис. 8.4, в. Для нее

гт к+д+(,/ср,-cp(ftCp+i)---Rcp+i

% 8.14. Основные и неосновные независимые начальные значен! Для сложных схем со многими накопитеушми энергии число иезавн симых начальных значений (начальных условий) может оказатм больше, чем пч)ядок характеристического уравнения, и. следовательТ больше числа постоянных интегрирования.

В этом случае прн. определении постоянных интегрирован! используют ие все независимые начальные значения, а часть из и Основными независимыми начальными значениями называют токи в индуктнвностях и напряжения на емкостях, кокфые моГ быть заданы независимо от других. Остальные независимые началь-значения называют неосновньиш.

В качестве иллюстрации обратимся к схеме рнс. 8.5. Она содержит три . дуктивиоств и одну aiKocTb. В схеме всего четыре независимых начальных smi

(начальных условии):

3) ia(OJ=0: 4) Ц;(0+)=0.

Из них три йвляются основными и одно-неосновным. Пря выборе основных сгвм известный произвол. Так. если за основные взять первое, второе

четвертое значения, то неосновным будет аретье.

Прим 76, Убедиться в том. что для схемы рис. 8.5 характеристическое уравнение имеет не четвертую, а третыо степень.

Решение, Окггавляем вьфажение для входного сопротивления:

Z(p) = i?i-l-pLx-b-

= 0.

№+Pli) [ I + РСг (L, + т+pL,(l + CJP) = 0. Следовательно, характеристическое урашенне имеет третью степень,

§ 8.15. Определение степени х£фактеристического уравнения.

Степень характерисгаческого уравнення цепи необходимо уметь оце-

Рис. 8.5 Рис. 8.6

нивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность определить трудоемкость предстоящих выкладок и (уюсобствует выявлению ошибки, если она возникнет прн составлении характеристического уравнения.

Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значении в послекомлчтационной схеме после шкгашального ее упрощения и не зависит от вида э. д. с. источников э. д, с. в схеме.

Упомянутое упрощение состоит в том, вдо поо№Д№агельно соединенные индукшвносги должны быть заменены одной эквивалентной; емкости, включенные последовательно и параллельно, тоже должны быть заменены звшнвалентаой *.

* Имеется в виду, что других сопротивлений, например активных, в ветвях с емкостями нет и начальные нагряження на последовательно соединенных костях отвосятся обратно пропо(Ииснально этим емкостям, а также что началь чУе токи через послкоБатеоло соединенные ивдуктивносга одниаковы.

Так, примеиительио к схеме рис. 8.6 последовательно L, и Ц следует заменить на Li~L[ + Ll±2M, если между есть магнитная связь (ести иет магнитной связи, то M=0), а шк: с;, с; и Q -на емкость

Рнс. 8.7

Начальное значение напряжения на емкости Cg равно началю. значению напряжения на С,.

В результате упрощений схемы рис. 8.6 получаем схему рис. в которой две ннд>ктивности и одна емкость. Все три независи начальные значения -основные. (1едователыю, характистнч- уравнение будет третьей степени.

Обратим внимание на то, что степень характеристического ур иия не зависит от того, имеется ли магнитная связь между вчдукг ностямн схемы или она отсутству

Еще одно замечание: если1 максимального упрощения с содержит конт>р, состоящий

Ф. 1 емкостей, скажем из п емк-

включенных между п узлами,

сумма напряжений вдоль этого ц тура равна нулю по второму кону Кирхгофа, то только на и емкостях этого контура напряжения могут быть заданы независ* от остальных. Отсюда следует, что при определении степени харл* рисгическою уравнения из п емкостей этого контура должны 6i приняты во внимание только я - I емкость.

Аналогично, если в каком-либо узле схемы после ее максиматья

упрощения сходится т ветвей и в каждой из них имеется индукс

ность, то при определении степени характеристического уравнег должны быть приняты во внимание только т - 1 индуктивность.

Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощЕЯ схемы степень хактеристческого уравнения может быть опред -путем подсчета величины П1-\-пс - у1-Кс, где п/. -число индукл костей в схеме, с -число емкостей, yi-число индуктивное токи Б которых не могут быть заданы произвольно; % -число костей, направления на которых не могут быть заданы пронзеоль

и последнее если схема с ад/тюадмлш имеет несколько посяедотатель-- участков, содержащих параллельно соединенные ветви с R, L. С, то для ка* группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со -та -Кфняни (свободные токи не Могут замыкаться через неточиик тока, поаольку Сопротивление равво бесконечности).

§ а 16. Свойства корней яаракте]

корней характеристического уравнения равно степени этого ypai .Так, если характеристическое уравнение представляет собой уравнв первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени - корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицаттм действительный (не мнимый и не комплексньй) корень.

Уравнение второй степени может иметь:

а) два действительных неравных отрицательных корня;

б) два дейовителыплс равных отрицательных корня;

в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

уравнение третьей степени может иметь:

а) три действительных неравных отрицательных корня;

б) три дейсгвнгечьных щрнцательных корня, из котсых два равны друг другу;

в) три действительных равных отрицательных корня;

г) один действительный отрицательный корень и два юмплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.

§ 8.17!. Отрицательные знаки действительных частей корней характеристических уравнений. Свободный процесс прсшсходит в цеци. освобожденной от источника э.д. с. Он описывается слагаемыми вцда ЛеР. В цепн, освобождшной от источников .

э. д. с, свободные токи не могут протекать сколь угодно длительно, так как в цепи отсутствуют источники эн)гин, которые были бы способны в течение сколь угодно длительного времени покрывать тепловые потери от свободных токов, т. е. свободные токи долж-- ны затухать во времени.

Но если свободные токи (выраженные ела-гавшми еР*) должны затухать (спадать) во

Еренени, то действителиая часть р должна быть отрицательной. Значения функцш е; °=/(сО (где at=x) приведены в табл. 8.1. Обсудим характер изменения свободных составляющих для простейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравнением первой и второй степени.

Если число корней характеристического уравнения больше даух, то свободный процесс может быть представлен как процесс, составленный из нескольких; простейших процессов.

§ 8.18. Характер свободного процесса .прн одном корне. Когда характистнческое уравнение имеет один корень, свсЛодный ток

(з = Ле-, (8.12)

где р== - а зависит только от параметров цепи, Л-от параметров цепи, 9. д. с. и момента мшочения. Характер изменения при Л >-0 показан на рис. 8.8.

За интервал времени ( = т= 1/о функция Аег уменьшится в е = = 2,71 раза. Действительно, прн ( = т=1/а

of=от=с/с = 1: е-=ё *=е- = 1/е = 1/2.71.

Величину т=1/с=1/р принято называть постоянной времени цепи; т заЕясит от вида и параметров схемы. Так, для цепи рис. 8.2

0,4 0,5 0,6 0,7

1,2 1,3 1,4 1.5 1,6 1,7 1,8 I,e 2,0 2.1 , 2,2

0,819

0,741

0.67

0.606

0549

0.497

0,449

0,407

O.30I 0.272 0.247 0,223 0,202 0,183 0,165 0,t5 0,135 0,122 0,111

11,02

12,1S

13,46

14,88

16,44

20/)8

24,53

29,06

36,6

44,7

54,6

1215 184,4

0,100

0,09

0,082

0,074

0,067

0,061

0,055

0,05

0,041

0,033

0, 22

0,018

0,015

0,012

0,01

0.0082

0.0007

0,0025

4,S4 5,47 6,05 6,70 741 8,19 9.00 10,02 12,25 14,96 18,28 23,34 27,29 3333 40,72 49,74 00,75 74,2 200

5,04 6,56 6,13 6,77 7,47 8,25 9,11

10,07

12,29-:

15,0

1B,~-

t=i . для наш рис 8.3, a i= C. для нти рис. MS r=J

и т.д

Название июстоя!

mtt к вкспоненте: подкасательная к экспоненте е * числевно равна я.

г..-Лг +л!г . (8.1;.,

Характер изменения свободного тока при различных по i

SvI7kS= wrr...

I л ft.° x 4>0; для рис. 8.9. 6 A>0, Л<0

§ 8.20. Характер свободного процесса при двух оавных коинях

SToShmxoZoP -ракнй.чГенТг -

два равных корня р = ра, то соогаетстаующйе слагаемые f

ния долж ш быть взяты в вцце

А+AJt.p = (Л,+А) е--. (8.13)

На рис. 8.10 построены пять кривых. Онн показывают возможный характер нзммкянн функции [А-\-Ае- * npi различных зна-ка.1 постоянных интегрирования Л, н А, а также когда одна нз постоянных равна н>у1ю.

Кривая ; при 4i>0 и Ла>0;

кривая 2 при Д<:0 и i4s>0;

кривая 3 при A>Q н Ла<:0;

кривая 4 при 1 = 0 и >1а>0;

кривая 5 при /1i>-0 н Л, -0.

§-8.21. Характер свободного процесса 1фи двух комнлексно-со-пряженных корнях: Ксшикксиые корпи всегда встречаются попарно сшряженпыми. Так, если = -г6+/**о. то

Соотвегствунщее им слагаемое решения должно быть взято в виде

ft = Ае- sin (6>ei -Ь v). (8.14)

Формула (8.14) описывает затухающее снну, соидальное колебание (рис. 8.11) при угловой частоте Од и 1щчальноЙ фазе v. Огибающая колебания определяется кривой <4е Ч Чем 6aib-ше б, тем быстрее затухает колебательный процесс; А п \ 5)едрл>иотся значениями па-метров схемы, начальнылги }словнями ii выичн-ной э. д. с. источника; ш, и 6 зашкят только от параметров цепи после коммутацни; называют угловой частотой свободных кадебаний; 6 -коэффициентом затухания.

§ 8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как известно из прелыдущето, полное значение любой величшш! (тока, напряжения, зяда) равно сумме принужденной и свободной составляющих. Если среди корней харак-тфисгнческого сравнения есть комплексно-сопряженные кфни Pi.E=-б±/(Цр и значение угловой частоты свободных колебаний i% почти равно угловой частоте ш склочника синусоидальной 3. д с. (источника питания), а коэффициент затухания 6 мал (цепь с малыми потерями), то сложение прннукщен-ной и свободной составляющих дает колебание, для которого характерно биенне амплитуды (рис. 8.12).

Колебание рис. 8.12 отличается от колебаний, рассмотренных в § 7.14, тем, что здесь у одной, нз составляюндге колсбадая амплитуда медленно уменьшается.

7. 196

Рис. 8.9