Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Разомкнутые системы радиоавтоматики x, i = 0x, + 0x, + 0xs+ . . . + lx, + 0u, + 0u,+ . . . +0 где afe=-a +i /ao, =1, n, i=br i/ao, i=l, r. Введем обозначения: x=[Xi, x2, . . ., XnV -матрица-столбец размера (nXl) переменных состояния, или п-вектор состояния; и=[и Ua, . . ., UrV - матрица-столбец размера (rXl) переменных управления, или г - вектор управления,
- матрица коэффициентов размера (лхл); - матрица коэффициентов размера (пхг). -Тогда полученную систему уравнений первого порядка запишем в виде одного векторно-матричного уравнения первого порядка, т. е. в виде уравнения состояния, аналогичного (1.30). Общее решение уравнения (1.30) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения х=--Ах и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид x{t) = Q{t) х{0), где Q{t) - матрица размера (пХп), удовлетворяющая уравнению Q=AQ при начальных условиях Q(0) = / (здесь / - единичная матрица). Матрицу Q{t) называют фундаментальной матрицей уравнения (1.30). Она имеет вид Q(t)=et, где е = I+At+. . .+-A t+. . матричная экспонента. Частное решение неоднородного уравнения (1.30) может быть выражено через фундаментальную матрицу и представлено в виде многомерной (матричной) свертки: x{t) = Q{t) 5 Q-i(T)Su(T)aT=: {Q{t)Q-{x)Bu{x)dx = = 5 e-4 c--) Bu (T) dr = 5 /г (t-x) и (т) dx, тле. h{t)=e*B - матрица весовых функций размера (яХг) автоматической системы, описываемой уравнением (1.30). На основании теоремы об изображении свертки получаем Х{р) = =Я(р) и(р), где Х{р) к и (р) ~ соответственно матрицы изображений переменных состояния и переменных управления; Н (р) ~ матрица передаточных функций автоматической системы, определяемая как изображение матрицы весовых функций. Использование частотных передаточных функци.1. Частотные методы исследования автоматических систем основаны на рассмотрении установившейся/реакции системы на гармоническое входное воздействие. Частотные передаточные функции используются главным образом в задачах анализа автоматических систем. Для решения задач синтеза более удобен и получил широкое распространение метод логарифмических частотных характеристик. Пусть дано дифференциальное уравнение динамической системы [см. (1.3)]. Рассмотрим установившуюся реакцию этой системы на гармоническое входное воздействие, которое. запишем в комплексной форме: л:l(0 = l .e< * = л:г.e/ (1.31) где Xjrn- амплитуда гармонических колебаний; со - круговая частота колебаний; t3i- начальная фаза колебаний; Xim-Xim- комплексная амплитуда колебаний. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1.3) при нулевых начальных условиях в виде 2 ii) = x2d ( +* =2 е (1.32) Подставляя (1.31) и (1.32) в (1.3) и учитывая, что получим где x, = W{h)x частотная передаточная функция динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением (1.3). Как следует из (1.33), частотная передаточная функция является дробно-рациональной функцией переменной /ш. Сравнивая (1.33) и (1.16), видим, что частотная передаточная функция может быть формально получена из передаточной функции путем подстановки /?=/м. Частотная передаточная функция есть комплексная функция переменной ш и, как всякая комплексная функция, может быть представлена в одной из форм: Г (/ш) = (/(©) +/У (ш) (1.34) W (/щ) = I W (/ш) I е/ = А (ш) е* < >, (1.35) Рис. где и (а) - вещественная часть функции W{j(xi); V(co) - мнимая часть функции W(j(>)); Л (со) = 1У(/сй) - модуль функции i5(co) = arg W(j(i>) - аргумент функции W(](!)) или фаза. Модуль частотной передаточной функции динамической системы определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) этой системы, а аргумент-фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Частотная передаточная функция является вектор-функцией и графически изображается на комплексной плоскости в виде вектора с прямоугольными координатами t/(cu) и V {&) или с полярными координатами А (со) и г5(сй), как показано на рис. 1.14. При изменении переменной со в пределах (- -f-oo) конец вектора описывает кривую, которую называют амплитудно-фазовой характеристикой системы (АФХ). Из рис. 1.14 может быть найдена связь между вещественной и мнимой частями функции 1(/со), с одной стороны, и модулем и аргументом - с другой: А (со) = 1/ (/а (co)-f Ксо), г, (со) = arctg (1.36) f/ (со) = Л (со) созг) (со), К (со) = Л (со) sin ф (со). Вещественная часть функции IF (/со) есть четная функция переменной со, а мнимая часть - нечетная функция. Действительно, запишем (1.33) в виде W (/со) = Rmih) Dn(-M = f/ (со) 4- ,у (ш). 1> (/со) (-/со) I Otv(/ш) I + i Знаменатель этого выражения, общий для f/(co) и К(со), представляет собой квадрат модуля функции Djv(/co) и содержит лишь четные степени со. Следовательно, мнимая и вещественная части частотной передаточной функции IF (/со) выделяются в числителе. Но при умножении полиномов RmH) и Djsr{-/со) вещественная часть произведения содержит лишь четные степени со, а мнимая часть - лишь нечетные. Таким образом, числитель и знаменатель функции U(со) содержат лишь четные степени со и тогда U{-со) = [7(со), в то время как числитель функции К (со) содержит лишь нечетные степени со, а знаменатель- четные, и тогда V{-со)=-К(со). Отсюда также следует, что модуль А (со) = VU (со) + (со)- четная функция, т.е. Л (-со)=Л (со), а фаза (со) = arctg-j- - нечггная функция, т.е. г)(-со)=-г)(со). Поэтому АФХ динамической системы представляет собой кривую, симметричную относительно оси абсцисс, так как каждой точке АФХ с координатами [f/(co), V(a)] или [Л (со), г)(со)] соответствует ее зеркальное отражение в оси абсцисс с координатами [f/(-со), V{-со)] = = [f/(co), -У{а)] или [Л (-со), г)(-со)]=[Л (со), -ф(со)]. Соответственно АЧХ системы си.м,метрична относительно оси ординат, а ФЧ X симметрична относительно начала координат. 2 Зак. 561 33
|