w{t) = f{t)\{t), (1.24)

где 1 {t) - единичная ступенчатая функция.

Таким образом, на весовую функцию физически возможной динамической системы принудительно накладывается ограничение (1.22).

Например, весовая функция автоматической системы, описываемой уравнением Ту (t)-\-y (t) = kg(t), формируется из функции f = - и имеет вид

( О при г; < о,

так как / (г;) = -ге~ О при г: < 0.

Использование интеграла свертки. Если известна весовая функция w(t) динамической системы, то процесс на выходе этой системы при произвольном входном воздействии Xi{t) определится интегралом Дюа-меля, или интегралом свертки

x,{t)= \w{t - t)x,{t)di, (1.25)

где t- переменная интегрирования.

Учитывая, что w{-)=0 при отрицательных значениях своего аргумента и соответственно w{t-1)=0 при tt, иногда (1.25) записывают в виде

x,{t)=. ]w{t - t)x,it)dt. (1.26>

Подчеркнем, что эта форма записи интеграла свертки для реальных (физически возможных) систем является формальной, так как длж t>t в соответствии с (1.22) подынтегральное выражение в (1.26) следует положить равным нулю, т. е. выполнять интегрирование в пределах 0<<.

Процесс на выходе системы, определяемый (1.25), содержит переходную и установившуюся составляющие.

Установившаяся составляющая может быть выделена из (1.25) если нижний предел интегрирования положить равным -оо. Действие тельно, в этом, случае от момента приложения t=-оо внешнего воздействия Xi(t) к входу системы до текущего мЬмента времени t=t процесс в системе бУдет длиться бесконечно долго и переходная составляющая процесса полностью затухнет. Тогда

x,{t)=. 5 w(t~t)xAt)dt. (1.27>

Выражение (1.27) часто записывают в несколько ином виде. Cдeлaes замену переменных, положив t-t=t . Тогда t=t-t , dt=-dt y.

г =и при i=i, t ->+oo при t->--oo. Учитывая, что при перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования знак интеграла изменяется, из (1.27) получим

x,it)= \w{t )x,{t-t )df. (1.28)

Здесь, в отличие от (1.26), интегрирование выполняется в пределах 0 +оо, чему соответствует изменение переменной f в выражении (1.27) в пределах (-оо, t).

Весовая фу<1кция динамической системы связана парой преобразований Лапласа с передаточной функцией этой системы. Действительно, из (1.21) имеем w{t) = W(р) 6(t), откуда в соответствии с правилом перехода от дифференциального уравнения в форме (1.5) к передаточной функции, полагая p=c-\-j(o, получаем L [w{t)]) = = W(p) L {b{t)]==W[р), так как L [6(01 = 1. Соответственно

w{t)=.L-[W{p)]. (1.29)

Пример 1.3. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид

Tx,(t) + x2(t) = kx(t) или ,(0 = qi(0. Р = -

Тогда передаточная функция этой системы

По таблице изображений Лапласа находим весовую функцию

Использование векторно-матричных уравнений. В ряде случаев процессы, протекающие в управляемом объекте, характеризуются не одной, а несколькими изменяющимися во времени взаимозависимыми величинами y-it), yit), . . ., Ут()- Такой объект управления называют многомерным.

Управление многомерным объектом осуществляется посредством многомерной системы управления с несколькими задающими воздействиями gi{t), т, и несколькими управляемыми величинами i/hit), k=\, т. Процессы в такой системе управления описываются не одним, а совокупностью дифференциальных уравнений.

Примером многомерной системы управления может служить система управления самолетом, управляемыми величинами которой являются высота и скорость полета, курсовой угол, угол тангажа, угол крена. Указанные величины являются взаимозависимыми, т. е. изменение одной из названных величин влечет за собой изменение других. Вследствие этого система управления самолетом является многомерной и ее нельзя рассматривать как простую совокупность одномерных систем.

Часто для удобства исследования многомерных (а иногда и одномерных) систем управления дифференциальные уравнения этих систем

путем формальных преобразований приводят ксистеме дифференциальных уравнений первого порядка и записывают в матричной форме в виде

dxldt==Ax-{-Bu, (1.30)

где; =[л;1, х, . . ., XnV - матрица-столбец размера (яХ1), содержащая п переменных, элементами которой являются управляемые величины yi{t) и их производные; и={щ, и, . . ., иХ - матрица-столбец размера (rXl), содержащая г переменных, элементами которой являются задающие воздействия (i) и их производные: Л=[а;й] - квадратная матрица коэффициентов размера (пХп); В=[/;;] - прямоугольная матрица коэффициентов размера (пХг).

Переменные Xi{t) называют переменными состояния, а всю их совокупность - пространством состояний, переменные Uj {t) - переменными управления, а матричное дифференциальное уравнение (1.30)- уравнением состояния.

Решение уравнения состояния получают также в матричной форме.

Матрицы-столбцы переменных состояния х и переменных управления и называют также векторами: х - вектор состояния, и - вектор управления. При этом уравнение состояния (1.30) называют ве/с/порно-матричным уравнением. Строго говоря, такое наименование для матрицы-столбца правомерно только тогда, когда ее элементы имеют одинаковую физическую размерность. В противном случае матрицу-столбец можно называть вектором лишь условно. При этом образование линейной формы из элементов этой матрицы (например, при составлении векторно-матричного дифференциального уравнения) осуществляется с использованием размерных коэффициентов уравнивающих размерности слагаемых в полученной линейной форме.

,Рассмотрим процедуру составления уравнения состояния для одномерной автоматической системы, описываемой уравнением (1.7).

Обозначим в (1.7) Xfe=y*-(О, к=\Гп, u,-=g - (0, где

r=m+l. Тогда л:й=г/*=л:+1. При этом дифференциальное уравнение л-го порядка (1.7) преобразуется к системе л уравнений первого порядка вида

Х = Xg,

2 - 3,

Хп-1 -

V - fir -х - -х А-и -4- -1-

1 = 0x1+ 12 + 0x3+ . .. +0л; + 0ы1 + 0ы2+ . . . +0и = 01 + 02 + 1хз -г + Ол; + Ouj + Оыз -f ... -f Оы.,